| Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 1 J. Orlin Grabbe
Пролог: Вращение Золотого Яблока
В 1776, в году, когда политические мятежники
в Филадельфии объявили о своей независимости и свободе, физик
в Европе декларировал всеобщую зависимость и детерминизм. Согласно
Пьеру-Саймону Лапласу, если Вы знаете исходные условия любой
ситуации, Вы можете определить будущее далеко вперед: "текущее
состояние системы природы - очевидно, является следствием того,
что было в предшествующий момент, и если мы предоставим разуму
сведения обо всех взаимоотношениях объектов нашей Вселенной,
возможно, стало бы определить позиции, движения, и взаимодействие
всех этих объектов в любое время в прошлом или будущем".
Лапласова вселенная - всего только гигантский бильярдный стол.
Если Вы знаете, как располагались шары и умеете просчитывать
их траектории, верный шар всегда будет падать в предназначенную
лузу.
Самомнение Лапласа по поводу его (или его "разума")
способности предсказывать будущее абсолютно не противоречило
уравнениям и точке зрения классической механики. Лаплас не столкнулся
с неравновесной термодинамикой, квантовой физикой или хаосом.
Сегодня некоторые напуганы самим понятием хаоса. (Я подробно
исследовал его в эссе, посвященном
хаосу в перспективе философии. Но то же самое верно
и относительно математического понятия хаоса.) Сегодня нет оправдания
точке зрения Лапласа.
В начале ХХ века математик Анри Пуанкаре, изучавший движение
планет, заподозрил серьезную проблему:
"Может случиться, что маленькие различия
в исходных условиях произведут очень большие изменения в конечных
явлениях. Маленькая ошибка в прошлом впоследствии приведет
к огромной ошибке. Предсказание становится невозможным "
(1903).
Другими словами, он начал понимать "детерминированность",
это не то, что часто превозносилось, даже оставляя в стороне
возможность других, недетерминированных систем. Инженер мог
бы сказать себе:: "я знаю, где сейчас располагается система.
Я знаю положение (планеты, космического корабля, автомобиля,
молекулы) почти точно. Поэтому я могу предсказать ее положение
на X дней в будущее с пределом погрешности, точно связанным
с ошибкой в моих начальных наблюдениях".
Ошибка предсказания может взорваться по экспоненте до бесконечности
(читайте позже обсуждение экспонент Ляпунова). Даже у Бога нет
пределов погрешности, если система - хаотическая. (Всеведения
не бывает. А жаль.) И выходит даже хуже, если система недетерминирована.
Отдаленное будущее? Вы будете знать его, когда Вы его увидите.
(Это утверждение будет слегка другим, когда мы обсудим глобальные
свойства системы.)
Я встречаю Хаос
Сначала я натолкнулся на нечто, называемое
"динамические системы", когда учился в Калифорнийском
университете в Беркли. Но я не уделил им много внимания. Я прошел
Беркли очень быстро и не имел времени смотреть по сторонам.
Но, добравшись до Гарварда, я купил книгу René Thom\'s
"Structural Stability and Morphogenesis" (Структурная
устойчивость и морфогенез), только что вышедшую на английском.
Лучшей частью книги были фотографии.
Рассмотрим корону, которую носят короли и принцессы в
сказках, а иногда и в реальной жизни. Почему корона выглядит
именно так? Допустим, корона круглая, чтобы держаться на голове,
но у нее еще есть шпили по периметру, похожие на маленькие треуголки,
кто знает зачем, а иногда на конце шпилей располагаются небольшие
круглые шары из драгоценных камней или золота. Кроме требования,
чтобы держалась на голове, форма короны, похоже, может иметь
произвольный вид.
Но в книге Тома есть фотография стального шара, брошенного в
расплавленный свинец, вместе со всплеском кипящей жидкости.
Свинцовый всплеск выглядел, как совершенная корона - круглый
вертикальный столб, растущий вверх, разветвляющийся в треугольные
шпили, истончающиеся к концу (и далеко отходящие от центра короны),
но вместо острого конца каждый шпиль был покрыт круглой каплей
свинца. Другими словами, форма короны совсем не произвольна:
при известных условиях эта форма спонтанно появляется всякий
раз, когда сфера брошена в жидкость. Так что королевская корона
не была создана, чтобы "символизировать" что бы то
ни было. Вначале появилась форма, созданная природой, а интерпретация
пришла позднее.
Слово "морфогенез" относится к формам вещей, когда
они растут: дефекты перерастают в специфическую форму, так же,
как и человеческие органы. Я читал ряд книг Ervin Laszlo
и Ludwig von Bertalanffy по общей теории систем, в которых
обсуждается концепции морфогенеза, так что я был знаком с основными
идеями. Там часто ссылались на книгу биолога D’Arcy Thompson
"On Growth and Form". Но уже намного позже, когда
я увлекся компьютерным искусством, и хаотично создал муравья
более или менее совершенной формы, выполняя итерации комплексного
уравнения с пятой степенью (то есть уравнение, содержащее переменную
z, возведенную в пятую степень, z5, где z
- комплексное число, типа z = .5 + 1.2 sqrt (-1)), я действительно
понял силу идеи. Если форма муравьев произвольна, то, почему,
черт побери, они напоминают комплексные уравнения с пятой степенью?
Так или иначе, позже я перешел к рассмотрению форм, которые
принимают цены финансовых активов, в частности, курсы валют
на форексе. Курс - цена, по которой одна валюта торгуется за
другую. Но я мог бы смотреть на биржевые цены, процентные ставки,
или же цены на сырье - принципы те же самые. Есть предположение,
что системы, генерирующие цены, являются недетерминированными
(стохастическими, случайными) - но это не отменяет наличие там
скрытой формы, скрытого порядка, в виде вероятностных распределений.
Читая о ценовых распределениях, я натолкнулся на некоторые ссылки
на Benoit Mandelbrot. Мандельброт, прикладной математик, произвел
фурор в экономике в начале 60-х, когда ввел еретические понятия
о вероятностях, влияющих на ценовые распределения, и приобрел
в качестве ученика Eugene Fama [1] из Чикагского университета.
Но позже Fama отказался от этой ереси (предположительно по эмпирическим
причинам, которые я нахожу явно абсурдными), и все вздохнули
с облегчением, возвратясь к знакомому миру среднеквадратичности
и нормальным (как они верили) распределениям цены в социальном
смысле, также как к вероятностному смыслу "нормали"
или распределению Гаусса.
В экономике, когда Вы имеете дело с ценами, Вы сначала берете
сами цены, а затем смотрите на изменения между ними[2]. Изменения
между этими ценами - именно то, что часто упоминается как ценовое
распределение. Они могут, например, формировать колоколообразную
кривую вокруг среднего - нуля. В этом случае, изменения между
ценами имели бы нормальное (Гауссово) распределение, со средним
нулем, и стандартным отклонением. (Фактические цены имели бы
логарифмически-нормальное распределение. Но это - не
то, что считается "ненормальным" в большинстве экономических
ситуаций, потому что обычно ссылаются на изменения цен,
а не на сами цены.)
Я вначале заинтересовался не-нормальным распределением,
в экономике это было очень немодно. Имелась даже активная враждебность
к идее, что такое возможно на реальных рынках. Многие люди имели
хороший набор инструментов и результатов, которым будет угрожать
(или, по крайней мере, они предполагали угрозу) если Вы измените
их вероятностные предположения. Большинство людей слышало о
Мандельброте, но любопытно, что никто, казалось, не дал себе
труда вникнуть в детали его статей. Это было подобно теории
ценообразования опциона - она не преподавалась тогда на экономических
факультетах, потому что никто из профессоров не понимал ее.
В библиотеке Гарвардской школы бизнеса я нашел ранние статьи
Мандельброта. Библиотека школы бизнеса была лучше организована,
чем библиотека на экономическом факультете, там была более богатая
коллекция книг и журналов, и она располагалась рядом с тем местом,
где я жил на Чарльз Ривер в Кембридже. В одной из статей Мандельброт
сказал, что его идеи были сначала представлены экономической
аудитории на международном семинаре по экономике Хендрика Хутаккера
в Гарвард Бинго. Я нашел семинар по международным финансам Хутаккера
и поехал, чтобы поговорить с ним о Мандельброте. Хутаккер был
членом Совета Экономических Советников при Ричарде Никсоне,
и был известен замечанием: "Никсон не имел сильного интереса
к международным экономическим делам, что зафиксировано на лентах
Уотергейтского скандала, когда Haldeman входит и хочет поговорить
об итальянской лире. Его ответ был \' [удалено цензурой] итальянская
лира! \' "
Хутаккер сказал мне, что он изучил распределение хлопковых фьючерсных
цен и не верит, что они имеют нормальное распределение. Он получил
те же самые данные, что и Мандельброт. Он сообщил мне, что Мандельброт
вернулся в США из Франции, и что он видел его несколько недель
назад, и что Мандельброт написал новую книгу, которую он всем
показывал. Я вернулся в Гарвард и нашел копию книги Мандельброта.
Прекрасные фотографии! Именно тогда я узнал, что такое фрактал,
и написал два из трех эссе в моей докторской диссертации по
фрактальным ценовым распределениям [3].
Фракталы привели меня обратно к хаосу, потому что графические
карты уравнений хаоса создают фрактальные модели.
Предварительные рисунки и поэмы
Простейший способ объяснить, что такое слон - сначала показать
его изображение. Вы указываете и говорите, " Смотрите.
Слон. " Так вот, здесь рисунок фрактала, иногда еще называемый
ковром Серпенского (Sierpenski carpet) [4]:
Обратите внимание, что имеется сплошной синий
квадрат в центре, с 8 дополнительными меньшими квадратами вокруг
центрального.
1 |
2 |
3 |
8 |
центральный
квадрат |
4 |
7 |
6 |
5 |
Каждый из 8 меньших квадратов выглядит точно
так же, как первоначальный. Умножьте каждую сторону меньшего
квадрата на 3 (увеличение области 3 x 3 = 9), и Вы получите
первоначальный квадрат. Или, наоборот, поделите каждую сторону
большего квадрата на 3, и Вы получите один из 8 меньших квадратов.
С масштабом 3, все квадраты выглядят одинаковыми (оставим пока
в стороне центральный квадрат).
Вы получаете 8 копий первоначального квадрата при масштабном
коэффициенте 3. Позже мы увидим, что этим определяется фрактальная
размерность log 8 / log 3 = 1.8927. (Я сказал - позже. Сейчас
об этом не беспокойтесь. Лишь обратите внимание, что размерность
- не круглое число типа 2 или 3.)
Каждый из меньших квадратов может точно также быть разделен:
центральный синий квадрат, окруженный 8 еще меньшими квадратами.
Так исходные 8 маленьких квадратов могут быть поделены на 64
еще меньших квадратов, каждый из которых похож на исходный
большой квадрат, если умножить его стороны на 9. Так что фрактальная
размерность - log 64 / log 9 = 1.8927. (Вы ведь не ожидали,
что размерность изменится, а?) Во фрактале этот процесс происходит
всегда.
Тем временем, пока без понимания, мы только что определили
фрактальную (или Гаусдорфову) размерность. Если число маленьких
квадратов - N при масштабе r, то эти два числа связаны фрактальной
размерностью D:
N = rD
Или, беря логарифмы, мы имеем D = log N / log r.
То же самое будет, когда мы масштабируем r, потому что объект,
с которым мы имеем дело, имеет фрактальную размерность D.
Вот поэма о фрактальных блохах:
У больших блох на спинках есть маленькие
блохи, которые их кусают
И маленькие блохи имеют еще меньших блох, и так до бесконечности,
А сами большие блохи, в свою очередь, кусают еще больших блох,
А те кусают еще больших, и еще больших, и так далее.
Ладно. Слишком много для предварительного взгляда
на фракталы. Давайте теперь бросил предварительный взгляд на
хаос, задавшись вопросом, что такое динамическая система.
Динамические Системы
Что такое динамическая система? Вот она: Джонни растет
на 2 дюйма в год. Эта система объясняет, как высота Джонни
изменяется во времени. Пусть x (n) будет ростом Джонни в этом
году. Пусть его рост в следующем году будет записан, как x (n+1).
Тогда мы можем написать динамическую систему в форме уравнения:
x(n+1) = x(n) + 2.
Видите? Разве это не простая математика? Если мы введем сегодняшний
рост Джонни x (n) = 38 дюймов, то с правой стороны уравнения
мы получим рост Джонни в следующем году, x (n+1) = 40 дюймов:
x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.
Движение справа налево в уравнении называется итерацией (повторением).
Мы можем повторить уравнение снова, введя новый рост Джонни
40 дюймов в нужную сторону уравнения (то есть x (n) =40), и
мы получим x (n+1) = 42. Если мы итерируем (повторим) уравнение
3 раза, мы получим рост Джонни через 3 года, а именно 44 дюйма,
начав с роста 38 дюймов.
Это - детерминированная динамическая система. Если мы
хотим сделать ее недетерминированной (стохастической),
мы могли бы сделать такую модель: Джонни растет на 2 дюйма в
год, больше или меньше и записать уравнение, как:
x(n+1) = x(n) + 2 + e
где e - небольшая ошибка (небольшая относительно 2), представляет
некоторое вероятностное распределение.
Давайте вернемся к первоначальному детерминированному
уравнению. Первоначальное уравнение, x (n+1) = x (n) + 2, является
линейным. Линейное означает, что Вы добавляете переменные или
константы или умножаете переменные на константы. Например, уравнение
z(n+1) = z(n) + 5 y(n) –2 x(n)
является линейным. Но если Вы перемножите переменные,
или возведете их в степень, большую единицы, уравнение
(система) станет нелинейным. Например, уравнение
x(n+1) = x(n)2
является нелинейным, потому что x (n) - возведено в квадрат.
Уравнение
z = xy
является нелинейным, потому что две переменные, x и y, перемножены.
Хорошо. Пока достаточно. Каков из себя хаос? Вот его рисунок.
Линии показывают, как динамическая система (в частности система
Лоренца) изменяется во времени в трехмерном пространстве.
Обратите внимание, как линия (дорожка, траектория) петляет вокруг
снова и снова, никогда не пересекая себя.
Заметьте также, что система сохраняет вращение
вокруг двух общих областей, как если бы она была притянута к
ним. Пункты, где система чувствует необходимость пойти в некотором
направлении, называются бассейном притяжения. Место,
куда она движется, называется аттрактор (точка притяжения).
Вот уравнение, где аттрактор - единственная точка, ноль:
x(n+1) = .9 x(n) .
Независимо от того, с какой величины Вы начинаете для x (n),
следующая величина, x (n+1), будет только 90 процентами от нее.
Если Вы продолжаете итерировать уравнение, величина x (n+1)
приближается к нолю. Так как аттрактор в данном случае - единственная
точка, это называется одноточечный аттрактор.
Некоторые аттракторы - просто круги или же имеют форму замкнутых
петель - похоже на обрывок нитки со связанными концами. Они
называются предельными циклами.
Другие аттракторы, как показанный выше аттрактор Лоренца, являются
поистине сверхъестественными. Они называются странными аттракторами.
Хорошо. Теперь давайте определим хаос.
Что такое Хаос?
Каковы характеристики хаоса? Во-первых, хаотические
системы нелинейны и следуют по траекториям (дорожкам) которые
заканчиваются на непересекающихся петлях, называемых странными
аттракторами. Давайте начнем, понимая, что означают эти
два термина.
Я собираюсь повторить некоторые вещи, о которых я говорил в
предыдущем разделе. Déjà vu. Но, как в фильме
Матрица, déjà vu может сообщать полезную
информацию. Снова и снова.
Классические системы уравнений в физике были линейны. Линейность
просто означает, что выходы пропорциональны входам. Пропорциональность
означает, что Вы можете или умножать входы на константы, чтобы
получить выход, или добавлять константы к входам, чтобы получить
выход, или и то и другое. Например, вот простое линейное уравнение
ценовой модели активов капитала, используемое в корпоративных
финансах:
E(R)
= a
+ b
E(Rm).
Оно сообщает нам ожидаемый возврат на акцию,
E(R) пропорционально возврату на рынке, E (Rm). Вход
- E (Rm). Вы умножаете его на b
("бету"), затем к результату добавляете a ("альфу")
- чтобы получить выход E(R). Это определяется, как линейное
уравнение.
Уравнения, которые не могут быть получены, умножая изолированные
переменные (не возведенные в какую-либо степень, кроме первой)
на константы, и складывая их вместе, являются нелинейными. Уравнение
y = x2 является нелинейным, потому что в нем используется
степень два: а именно, x квадрат. Уравнение z = 4xy-10 не линейно,
потому что переменная x -умножается на переменную y.
Уравнение z = 5 + 3x-4y-10z линейно, потому что каждая переменная
умножена только на константу, и они складываются. Если мы умножим
последнее уравнение на 7, оно все еще останется линейным: 7z
= 35 + 21x - 28y - 70z. Однако, если мы умножим его на переменную
y, оно станет нелинейным: zy = 5y + 3xy-4y2-10zy.
Наука о хаосе ищет характерные модели, которые появляются в
сложных системах. Если эти модели не слишком просты, подобно
единственной точке равновесия ("цена равновесия золота
- 300 $"), или простым закрытым или колебательным кривым
(например, круг или синусовая волна), модели обозначаются, как
странные аттракторы.
Такие модели прослеживаются в самоорганизующихся системах. В
других областях науки могут использоваться иные названия, чем
странные аттракторы. В биологии (или социобиологии) они относятся
к коллективным моделям животного (или социального) поведения.
В Юнговой психологии такие модели могут называться архетипами
[5].
Главная особенность хаоса в том, что простые детерминированные
системы могут производить то, что кажется случайным поведением.
Подумайте о том, что это значит. С хорошей стороны, если мы
наблюдаем то, что, кажется сложным, случайное поведение, возможно,
оно генерируется несколькими детерминированными правилами. И,
возможно, мы можем обнаружить их. Возможно, в конце концов,
жизнь не так уж сложна. С плохой стороны, предположите, что
мы имеем простую детерминированную систему. Мы можем думать,
что мы понимаем ее, она выглядит настолько простой. Но может
оказаться, что у нее есть чрезвычайно сложные свойства. В любом
случае, хаос скажет нам, является ли данное, вроде бы случайное
поведение на самом деле случайным, или детерминированном, или,
может быть, неразрешимым. Большинство из нас уже знакомы с этим.
Мы, возможно, уже использовали генераторы случайных чисел (на
самом деле, генераторы псевдослучайных чисел) на компьютере.
"Случайные" числа в этом случае были генерированы
простыми детерминированными уравнениями.
Я - чувствительный, не тревожьте меня
Хаотические системы очень чувствительны к начальным
состояниям. Предположим, что мы имеем следующую простую систему
(называемую логистическим уравнением) с единственной переменной,
появляющейся как на входе, x (n), так и на выходе, x (n+1):
x(n+1) = 4 x(n) [1-x(n)].
Вход - x(n). Выход - x(n+1). Система нелинейна, потому что,
если Вы перемножите правую сторону уравнения, получится выражение
x(n)2. Так что выход не пропорционален входу. Давайте
поиграем с этой системой. Пусть x(n) = .75. Выход
4 (.75) [1- .75] = .75.
TТо есть x(n+1) =0.75. Если бы это было уравнение, описывающее
динамику цен рынка, рынок был бы в равновесии, потому что сегодняшняя
цена (0.75) завтра генерирует ту же самую цену. При данной сегодня
цене x(n) = 0.75, завтрашняя цена будет x(n+1) = 0.75. Величина
0.75 называется фиксированной точкой уравнения,
потому что использование ее в качестве входа возвращает ее же
в качестве выхода. Она остается фиксированной, а не преобразуется
в новое число.
Но предположим, что рынок начинается при x(0) = 0.7499. Выход
4 (.7499) [1-.7499] = .7502 = x(1).
Теперь, используя выход предыдущего дня x(1) = 0.7502 в качестве
следующего входа, мы получим новый выход:
4 (.7502) [1-.7502] = .7496 = x(2).
И так далее. Движение от одного набора входов к выходу называется
итерацией (повторением). Тогда, в следующей итерации,
новая величина выхода используется, как величина входа, чтобы
получить другую величину выхода . Первые 100 итераций логистического
уравнения, начинающегося с x(0) = 0.7499, показаны в Таблице
1.
Наконец, мы повторяем весь процесс, используя в качестве первого
входа x(0) = 0.74999. Эти результаты также показаны в Таблице
1. Каждый набор путей решения — x(n), x(n+1), x(n+2)(n), и т.д.
называется траекториями. Таблица 1 показывает три различные
траектории для трех различных стартовых величин x(0).
Посмотрите на итерацию номер 20. Если Вы начали с x(0) = 0.75,
Вы имеете x(20) = 0.75. Но если Вы начали с x(0) = 0.7499, Вы
получаете x(20) = 0.359844. Наконец, если Вы начали с x(0) =
0.74999, Вы получаете x(20) = 0.995773. Ясно, что мелкие различия
в стартовых величинах приводят к большой разнице в результатах
после нескольких шагов. Уравнение очень чувствительно к начальным
условиям.
Метеоролог по имени Лоренц (Lorenz) обнаружил эти явления в
1963 в Массачусетском Технологическом Институте [6]. Он округлял
свои уравнения предсказания погоды в интервале от шести до трех
знаков после запятой, потому что его выход имел только три десятичных
знака. Внезапно он понял, что последовательность более поздних
чисел, которые он получил, оказалась другой. Начинаясь с двух
ближайших точек, траектории быстро отклонялись друг от друга.
Это значило, что долгосрочное предсказание погоды было невозможно.
Он имел дело с хаотическими уравнениями.
Таблица 1: Первые
сто итераций уравнения
x(n+1) = 4 x(n) [1- x(n)] с разными величинами x(0).
x(0): |
.75000 |
.74990 |
.74999 |
Итерация |
|
|
|
1 |
.7500000 |
.750200 |
.750020 |
2 |
.7500000 |
.749600 |
.749960 |
3 |
.7500000 |
.750800 |
.750080 |
4 |
.7500000 |
.748398 |
.749840 |
5 |
.7500000 |
.753193 |
.750320 |
6 |
.7500000 |
.743573 |
.749360 |
7 |
.7500000 |
.762688 |
.751279 |
8 |
.7500000 |
.723980 |
.747436 |
9 |
.7500000 |
.799332 |
.755102 |
10 |
.7500000 |
.641601 |
.739691 |
11 |
.7500000 |
.919796 |
.770193 |
12 |
.7500000 |
.295084 |
.707984 |
13 |
.7500000 |
.832038 |
.826971 |
14 |
.7500000 |
.559002 |
.572360 |
15 |
.7500000 |
.986075 |
.979056 |
16 |
.7500000 |
.054924 |
.082020 |
17 |
.7500000 |
.207628 |
.301170 |
18 |
.7500000 |
.658075 |
.841867 |
19 |
.7500000 |
.900049 |
.532507 |
20 |
.7500000 |
.359844 |
.995773 |
21 |
.7500000 |
.921426 |
.016836 |
22 |
.7500000 |
.289602 |
.066210 |
23 |
.7500000 |
.822930 |
.247305 |
24 |
.7500000 |
.582864 |
.744581 |
25 |
.7500000 |
.972534 |
.760720 |
26 |
.7500000 |
.106845 |
.728099 |
27 |
.7500000 |
.381716 |
.791883 |
28 |
.7500000 |
.944036 |
.659218 |
29 |
.7500000 |
.211328 |
.898598 |
30 |
.7500000 |
.666675 |
.364478 |
31 |
.7500000 |
.888878 |
.926535 |
32 |
.7500000 |
.395096 |
.272271 |
33 |
.7500000 |
.955981 |
.792558 |
34 |
.7500000 |
.168326 |
.657640 |
35 |
.7500000 |
.559969 |
.900599 |
36 |
.7500000 |
.985615 |
.358082 |
37 |
.7500000 |
.056712 |
.919437 |
38 |
.7500000 |
.213985 |
.296289 |
39 |
.7500000 |
.672781 |
.834008 |
40 |
.7500000 |
.880587 |
.553754 |
41 |
.7500000 |
.420613 |
.988442 |
42 |
.7500000 |
.974791 |
.045698 |
43 |
.7500000 |
.098295 |
.174440 |
44 |
.7500000 |
.354534 |
.576042 |
45 |
.7500000 |
.915358 |
.976870 |
46 |
.7500000 |
.309910 |
.090379 |
47 |
.7500000 |
.855464 |
.328843 |
48 |
.7500000 |
.494582 |
.882822 |
49 |
.7500000 |
.999883 |
.413790 |
50 |
.7500000 |
.000470 |
.970272 |
51 |
.7500000 |
.001877 |
.115378 |
52 |
.7500000 |
.007495 |
.408264 |
53 |
.7500000 |
.029756 |
.966338 |
54 |
.7500000 |
.115484 |
.130115 |
55 |
.7500000 |
.408589 |
.452740 |
56 |
.7500000 |
.966576 |
.991066 |
57 |
.7500000 |
.129226 |
.035417 |
58 |
.7500000 |
.450106 |
.136649 |
59 |
.7500000 |
.990042 |
.471905 |
60 |
.7500000 |
.039434 |
.996843 |
61 |
.7500000 |
.151515 |
.012589 |
62 |
.7500000 |
.514232 |
.049723 |
63 |
.7500000 |
.999190 |
.189001 |
64 |
.7500000 |
.003238 |
.613120 |
65 |
.7500000 |
.012911 |
.948816 |
66 |
.7500000 |
.050976 |
.194258 |
67 |
.7500000 |
.193508 |
.626087 |
68 |
.7500000 |
.624252 |
.936409 |
69 |
.7500000 |
.938246 |
.238190 |
70 |
.7500000 |
.231761 |
.725821 |
71 |
.7500000 |
.712191 |
.796019 |
72 |
.7500000 |
.819899 |
.649491 |
73 |
.7500000 |
.590658 |
.910609 |
74 |
.7500000 |
.967125 |
.325600 |
75 |
.7500000 |
.127178 |
.878338 |
76 |
.7500000 |
.444014 |
.427440 |
77 |
.7500000 |
.987462 |
.978940 |
78 |
.7500000 |
.049522 |
.082465 |
79 |
.7500000 |
.188278 |
.302657 |
80 |
.7500000 |
.611319 |
.844223 |
81 |
.7500000 |
.950432 |
.526042 |
82 |
.7500000 |
.188442 |
.997287 |
83 |
.7500000 |
.611727 |
.010822 |
84 |
.7500000 |
.950068 |
.042818 |
85 |
.7500000 |
.189755 |
.163938 |
86 |
.7500000 |
.614991 |
.548250 |
87 |
.7500000 |
.947108 |
.990688 |
88 |
.7500000 |
.200378 |
.036901 |
89 |
.7500000 |
.640906 |
.142159 |
90 |
.7500000 |
.920582 |
.487798 |
91 |
.7500000 |
.292444 |
.999404 |
92 |
.7500000 |
.827682 |
.002381 |
93 |
.7500000 |
.570498 |
.009500 |
94 |
.7500000 |
.980120 |
.037638 |
95 |
.7500000 |
.077939 |
.144886 |
Дата публикации: 24.11.2006
Прочитано: 3794 раз
Дополнительно на данную тему
|
|
Регистрация или вход
