Cybersant - Форекс (Forex) и финансы

Регистрация или вход Главная | Стратегии | Журнал для трейдеров | Обратная связь | Реклама на сайте | В избранное

НАВИГАЦИЯ
ГлавнаяГлавная
Актуальные темыАктуальные темы
Вопросы и ответыВопросы и ответы
ГолосованиеГолосование
Добавить статьюДобавить статью
ИнформерИнформер
НедвижимостьНедвижимость
Обратная связьОбратная связь
ПоискПоиск
ПубликацииПубликации
РекомендоватьРекомендовать
СтатьиСтатьи
ФайлыФайлы

Календарь
24 2020
ПнВтСрЧтПтСбВс
123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
282930


Статистика



Yandex
Контент
Трейдинг
Интернет трейдинг
Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 2

J. Orlin Grabbe

Французский Игрок и Зерна Пыльцы


В 1827 году английский ботаник, Роберт Броун
получил в руки микроскоп новой технологии: "сделанный для
меня г. Долландом... состоящий из трех линз увеличением 40,
60 и 70, с фокусом в дюйм".





Сразу же Броун заметил, как зерна пыльцы, растворенные в воде,
движутся в энергичной, но случайной маненре.



Чтобы увидеть то, что Браун видел в свой микроскоп, удостоверьтесь,
что ваш браузер поддерживает Java, а затем щелкните
здесь
.





Что происходило, было загадкой. Многие люди удивлялись: неужели
эти крошечные частицы органической материи на самом деле вели
себя, как живые? К счастью, тогда еще не было Голливуда,
а не то Джон Карпентер обязательно сделал бы фильм ужасов, Они
Живы!
о пыльце зерен.





Сам Роберт Броун сказал, что он не думает, что движение имеет
какое-либо отношение к крошечным течениям в воде, и при этом
этом оно не было вызвано испарением. Он объяснил свои наблюдения
следующим образом:



"Это чрезвычайно мелкие частицы твердой
материи, полученные из органических или неорганических веществ,
при растворении в чистой воде или в некоторых других жидкостях,
демонстрируют движение, для которого я не могу найти объяснение,
которое по своей нерегулярности и видимой независимости в
большой степени напоминает менее быстрые движения некоторых
из простейших микроорганизмов. Эти мельчайшие наблюдаемые
частицы перемещаются, я назвал их Активными Молекулами, видимо,
имеют сферическую или почти таковую форму, и размер между
1-20,0000 и 1-30,000 долями дюйма в диаметре; а другие частицы
значительно большего и различного размера, как подобных, так
и очень отличающихся форм, также демонстрируют аналогичные
движения в подобных обстоятельствах.





"Я уже заявлял о своей уверенности в том. что эти движения
частиц не являются ни результатом течений жидкости, содержащей
их, ни внутреннего движения, сопровождающего ее испарение
" [1]



Браун отметил, что и другие до него делали
подобные наблюдения в отдельных случаях. Например, доктор Джеймс
Друммонд наблюдал это беспорядочное движение в глазах рыб:



"В 1814 году доктор Джеймс Друммонд
из Белфаста опубликовал в 7 томе Транзакций Королевского Общества
Эдинбурга ценную статью, озаглавленную \'О неких явлениях,
наблюдаемых на срезе глаза рыбы. \'



"В этом эссе, с которым я, к сожалению, не был знаком,
когда публиковал отчет о своих наблюдениях, автор дает описание
поразительных движений spicula, которые формируют серебристую
часть покрытия сосудистой оболочки глаз у рыб".



Сегодня мы знаем, что это движение, называемое
Броуновским в честь Роберта Броуна, происходит
из-за случайных колебаний в количестве водных молекул, бомбардирующих
зерна пыльцы с различных направлений.





Эксперименты показали, что частицы передвигались дальше за данный
интервал времени, если Вы повышали температуру, или уменьшали
размер частиц, или уменьшали "вязкость" [2] жидкости.
В 1905 году, в знаменитом трактате, озаглавленном Теория
Броуновского Движения
[3], Альберт Эйнштейн развил математическое
описание, которое объяснило Броуновское движение в зависимости
от размера частиц, вязкости жидкости и температуры. Позже, в
1923, Норберт Винер дал математически строгое описание того,
что теперь известно, как "стохастический процесс".
С того времени Броуновское движение называется процессом
Винера
, также как "процессом распространения",
"случайной прогулкой ", и так далее.





Но Эйнштейн не был первым, кто дал математическое описание Броуновского
движения. Эта честь принадлежит французскому аспиранту, который
любил играть на деньги. Его имя - Луи Башелье (Louis Bachelier).
Подобно многим людям, он стремился сочетать работу с удовольствием,
и в 1900 году в Париже представил свою докторскую диссертацию
под названием .Théorie de la spéculation
(Теория спекуляции)





Башелье не интересовали зерна пыльцы и рыбьи глаза. Вместо этого
он хотел знать, почему колеблются цены акций и бондов на Парижской
фондовой бирже. Он был особенно заинтригован бондами, известными,
как rentes sur l’état - бессрочные обязательства,
выпущенные французским правительством. "Каковы законы этих
колебаний?" - спросил себя Башелье. Он нашел ответ в ценах,
бомбардируемых мелкими частицами новостей. ("Британцы наступают,
вколачивая цены вниз!")


Квадратный Корень Времени


Среди других вещей, Башелье наблюдал интервалы
вероятности
, в которых падение цен, казалось, увеличивалось
или уменьшалось по квадратному корню от времени (T0.5).
Это было ключевое понимание.





Под "интервалом вероятности" мы подразумеваем данную
вероятность для диапазона цен. Например, цены могли бы падать
в пределах некоторого ценового диапазона с вероятностью 65 процентов
на период времени в один год. Но за более чем два года тот же
самый ценовой диапазон, который произойдет с вероятностью 65
процентов, будет больший чем за один год. Насколько больший?
Башелье говорил, что изменение ценового диапазона пропорционально
квадратному корню от времени.





Пусть P - текущая цена. Через некоторое время T цена будет (с
данной вероятностью) падать в диапазоне





(P –a T0.5, P + a T0.5),
для некоторого постоянного a.





Например, если T представляет один год (T=1), то последнее уравнение
упрощается до





(P –a , P + a), для
некоторого постоянного a.





Изменение цен более чем за два года (T=2) было бы





a T0.5 = a(2)0.5 = 1.4142
a





или в 1.4142 раза от изменения за один год. По контрасту, изменение
за полгода (T=0.5) было бы





a T0.5 = a(0.5) 0.5 = .7071
a





или приблизительно 71 процент от изменения за весь год. То есть
через полгода, цена (с данной вероятностью) была бы в диапазоне





(P –.7071a , P + .7071a ).





Здесь должна быть определена постоянная, но предполагается,
что она будет разной для различных типов цен: может быть, например,
большей для цены на серебро, чем для цены на золото. Она может
быть большее для акций Yahoo, чем для IBM.





Диапазон цен для данной вероятности, в таком случае, зависит
от постоянного a и от квадратного корня времени (T0.5).

Таково было интуитивное понимание Башелье.


Нормаль или Логнормаль


Теперь, что и говорить, Башелье допустил финансовую
ошибку. Вспомните (из Части 1
этой серии), что в финансах мы всегда берем логарифмы цен. Тому
есть много причин. Большинство изменений в экономических переменных
пропорционально их текущему уровню. Например, правдоподобно,
что изменения цен на золото пропорциональны уровню цен - золото
за 800 $ изменяется с большим приращением, чем золото за 260
$.





Изменение цены, DP, как пропорция
текущей цены P, может быть записано как:





DP/P .





Но это приблизительно то же самое, что изменение логарифма цены:





DP/P »
D (log P) .





Что это означает - то, что Башелье должен был написать свое
уравнение:





(log P –a T0.5, log P + a T0.5),
для некоторого постоянного a.





Однако имейте в виду, что Башелье принес новшества как в финансы,
так и в математическую теорию Броуновского движения, так что
ему было довольно тяжело объяснять основную идею, без необходимости
волноваться об изложении деталей для несуществующей читательской
аудитории. Что и говорить, почти никто не читал докторскую диссертацию
Башелье, кроме знаменитого математика Анри Пуанкаре, одного
из его преподавателей.





Диапазон цен для данной вероятности тогда зависит от постоянной
a и от квадратного корня времени (T0.5), также,
как и текущий уровень цены P.






Чтобы увидеть, почему это истинно, обратите внимание, что вероятность
ранжируется для логарифма цены





(log P –a T0.5, log P + a T0.5)





преобразовывается в диапазон вероятности непосредственно для
цены, как





( P exp(- a T0.5), P exp( a T0.5
) ) .





(Здесь "exp" значит экспоненциал, помните? Например,
exp (-.7) = e-.7 = 2.718281-.7 =. 4966.)





Лучше, чем добавлять плюс или минус что-либо к текущей цене
P, мы умножаем это кое-что на текущую цену P. Так что ответ
зависит от уровня P. Для полугодия (T=0.5), вместо





(P –.7071a , P + .7071a )





мы получаем





( P exp(- .7071 a ), P exp( .7071 a ) ) .





Первый интервал имеет постоянную ширину 1.4142 a, независимо
от уровня P (потому что P + .7071 - (P-.7071 a) = 1.4142
a). Но ширина второго интервала меняется, поскольку меняется
P. Если мы удваиваем цену P, ширина интервала также удваивается.





Башелье допустил, что ценовой диапазон зависит от постоянной
и от квадратного корня времени (T0.5), но опустил
требование, чтобы диапазон зависел также и от текущего ценового
уровня P.





Различие в двух подходах в том, что, если ценовые приращения
(DP) являются независимыми, и имеют
конечную разницу, то цена P имеет нормальное
(Хауссово распределение). Но если приращения в логарифме цены
(D log P) независимы, и имеют конечную
разницу, то цена P имеет логнормальное распределение.





Вот картина нормального или Хауссового распределения:









Левое плечо никогда не станет нолем. Независимо от того, где
мы сосредотачиваем распределение (размещаем середину), всегда
есть положительная вероятность отрицательных чисел.





Вот картина логнормального распределения:









Левое плечо логнормального распределения становится нолем на
ноле. Независимо от того, где мы сосредотачиваем распределение
(размещаем середину), существует нулевая вероятность отрицательных
чисел.





Логнормальное распределение присваивает отрицательным ценам
нулевую вероятность. Это делает нас счастливыми, потому что
большинство компаний не предусматривает отрицательные цены.
(Однако в 30-х годах, в некоторых случаях, по казначейским билетам
США были оплачены отрицательные процентные ставки.) Но нормальное
распределение присваивает положительную вероятность отрицательным
ценам. Нам это не нужно.





Итак, мы видели ключевое понимание Башелье того, что интервалы
вероятности изменений цен пропорциональны квадратному корню
времени (то есть интервал вероятности для текущей цены P изменяется
по T0.5), и слегка это изменили, сказав, что интервалы
вероятности для логарифма изменений цен пропорциональны
квадратному корню времени (то есть интервал вероятности log
P меняется по T0.5).


Насколько Это Важно?


Теперь мы отдохнем от ценовых распределений
и разберем вопрос об измерении вообще. Как мы измеряем длину,
площадь, объем или время. (Это приведет нас от Башелье к Мандельброту.)





Обычно, когда мы что-либо измеряем, мы используем повседневные
измерения (или по крайней мере те, с которыми мы знакомы из
элементарной простой геометрии). Точка имеет нулевое измерение.
Линия имеет одно измерение. Плоскость(квадрат) имеет два измерения.
Куб имеет три измерения. Эти основные измерения иногда упоминаются,
как топологические измерения.





Мы говорим, что комната размером столько-то "квадратных
футов". В этом случае мы используем двумерную концепцию
площади. Мы говорим, что земля размером столько-то "акров".
Здесь, опять таки, мы используем двумерную концепцию площади,
но с другими единицами (в "акре" 43,560 "квадратных
футов"). Мы говорим, что цистерна содержит столько-то "галлонов".
Здесь мы используем меру объема (в "галлоне" 231 "кубический
дюйм" в США, или .1337 "кубических фута").





Предположим, Ваша комната имеет размер 10 на 10 футов, или 100
квадратных футов. Сколько ковра потребуется, чтобы ее покрыть?
Хорошо, Вы говорите, 100 квадратных футов ковра, конечно. И
это истинно, для обычного ковра.





Давайте возьмем квадрат и поделим его на меньшие части. Разделим
каждую сторону на 10:







Мы получили 100 частей. То есть, если мы делим с коэффициентом
масштаба 10, мы получаем 100 меньших квадратов, каждый из которых
напоминает большой квадрат. Если мы умножаем любой из меньших
квадратов на 10, мы получаем первоначальный большой квадрат.





Давайте вычислим измерение для этого квадрата. Используем ту
же самую формулу, которую мы использовали для ковра Серпинского:





N = rD .





Взяв логарифмы, мы имеем log N = D log r, или D = log N/ log
r.





Мы имеем N = 100 частей и r = 10, так что мы получаем измерение
D как





D = log(100)/log(10) = 2.





(Мы используем "log", подразумевая натуральный логарифм,
но обратите внимание, что в этом вычислении используется отношение
двух логарифмов, так что не имеет значения, какое основание
мы используем. Вы можете использовать логарифмы с основанием
10, если хотите, и делать вычисления в уме.)





Мы назвали измерение D рассчитанное таким образом (а именно,
сравнивая число подобных объектов N, которые мы получили
в различных масштабах с коэффициентом масштаба r
) Хаусдорфовой
размерностью
. В этом случае, Хаусдорфово измерение 2 - то
же самое, что и обычное или топологическое измерение 2.





Итак, в любом случае, измерение 2, так же, как Вы считали с
самого начала. Но представьте, что Вы покрыли пол ковром
Серпинского. Сколько ковра Вам тогда понадобится?






Мы видели (в Части 1), что ковер
Серпинского имеет Хаусдорфову размерность D = 1.8927… На ковер
Серпинского с каждой стороной в 10 футов пошло бы лишь N = 101.8927
= 78.12 квадратных футов материала.





Почему же ковер Серпинского с каждой стороной 10 футов не требует
100 квадратных футов материала? Конечно потому, что в нем есть
отверстия.






Вспомните, что, когда мы разделили стороны ковра Серпинского
на 3, мы получили только 8 копий оригинала, потому что мы выбросили
центральный квадрат. Так что, он имел Хаусдорфову размерность
D = log 8/ log 3 = 1.8927. Затем мы разделили каждую из 8 копий
снова на 3, еще раз выбросив центральные квадраты, оставив 64
копии оригинала. Деление дважды на 3 есть то же самое, что деление
на 9, так что, пересчитав наше измерение, мы получаем D = log
64/ log 9 = 1.8927.





Обычный ковер имеет Хаусдорфову размерность 2 и топологическую
(обычную) размерность 2. Ковер Серпинского имеет Хаусдорфову
размерность 1.8927, а вот топологическую размерность 2. [4]





Benoit Mandelbrot определил фрактал как объект,
у которого Хаусдорфова размерность отличается от его топологической
размерности
. Так что, ковер Серпинского - фрактал. Обычный
ковер - нет.





Фракталы дешевы и привлекательны. Ковру Серпинского требуется
только 78.12 квадратных футов материала, чтобы покрыть 100 квадратных
футов площади пола. Требуя меньшего количества материала, ковер
Серпинского меньше стоит. Конечно, в нем есть отверстия. Но
эти отверстия формируют действительно изящный рисунок. Так что
ковер Серпинского еще и привлекателен. Дешевый и привлекательный.
Вы не сможете это оспорить.


Первый Фрактал в Истории


Давайте посмотрим на первый известный фрактал,
созданный в 1870 году нарушителем спокойствия в математике Георгом
Кантором (George Cantor).





Помните, что мы создаем фрактал, формируя подобные модели в
различных масштабах, как мы это проделали с ковром Серпинского.
Это попытка наделать дыр. Чтобы получить ковер, у которого Хаусдорфова
размерность была бы меньше 2, мы сделали в ковре рисунок из
отверстий. Так что мы получили объект, у которого Хаусдорфова
размерность D (которая сравнивает число N различных, но подобных
объектов в различных масштабах r, N = rD ) была больше
1, но меньше 2. Это сделало ковер Серпинского фракталом, потому
что его Хаусдорфова размерность отличалась от его топологической
размерности.



Георг Кантор создал объект, чья размерность была больше 0, но
меньше 1. То есть дырявый объект, который был больше точки (с
0 размерностью), но меньше линии (с 1 измерением). Его назвали
пылью Кантора. Когда дует ветер Кантора, пыль забивает ваши
легкие, и Вы не можете дышать.



Чтобы создать пыль Кантора, нарисуйте линию и вырежьте среднюю
треть:





0________________________________________________________1



0__________________1/3 2/3_________________1



Теперь вырежьте средние трети у каждой из двух оставшихся частей:







0____1/9 2/9____ 1/3 2/3____7/9 8/9 ____1



Теперь вырежьте средние трети у каждой из оставшихся четырех
частей и повторяйте таким образом бесконечное число шагов, как
обозначено на следующем графике.





То, что останется в конце концов, и будет пылью
Кантора.



На каждом шаге мы изменяли масштаб r = 3, потому что
мы делили каждую остающуюся часть на 3 доли. (Каждая из этих
долей имела 1/3 длины первоначальной части.) Затем мы отбрасывали
среднюю часть. (Это похоже на то, как мы создавали отверстия.)
Оставалось 2 части. На следующем шаге было 4 части, потом 8,
и так далее. На каждом шаге число частей росло с коэффициентом
N = 2. Таким образом, Хаусдорфова размерность для пыли Кантора:



D = log 2 / log 3 = .6309.



На самом ли деле пыль Кантора - фрактал? Да, пока ее топологическая
размерность отличается от 0.6309, что бесспорно.





Но каков топологический размер пыли Кантора? Мы можем ответить
на это, посмотрев, какую часть первоначальной линии (длиной
1) мы вырезали в процессе создания отверстий.





Первым шагом мы вырезаем среднюю треть, или длину 1/3. Следующим
шагом мы вырезаем средние трети из двух оставшихся частей, или
2 длины (1/3) (1/3). И так далее. Вся вырезанная длина тогда:



1/3 + 2(1/32) + 4(1/33) + 8(1/34)
+ . . . = 1.



Мы вырезали всю длину линии (даже при том, что мы оставили бесконечное
число точек), так что оставшаяся пыль Кантора, имеет нулевую
длину. Ее топологическая размерность - ноль. Пыль Кантора -
фрактал с Хаусдорфовой размерностью 0.6309 и топологической
размерностью 0.





Подзаголовок определяет пыль Кантора как "первый фрактал
в истории". Это несколько антропоцентрично. Поскольку природа
создавала фракталы в течение миллионов лет. Фактически, большинство
вещей в природе - не круги, квадраты или линии. Вместо этого
они - фракталы, и создание этих фракталов обычно определяется
уравнениями хаоса. Хаос и фрактальная красота составляют природу
реальности. Свыкнитесь с этим.





Сегодня в природе известно примерно 103 фрактальных
систем, хотя десять лет назад, когда была написана классическая
Фрактальная Геометрия Природы Мандельброта, многие из этих систем
не были известны, как фрактальные. [5]


Фрактальное Время


Пока мы видели, что измерение - сложное дело.
Не каждая длина может быть измерена рулеткой, не каждый ковер
измеряется подсчетом квадратов по его стороне.





Многое в жизни фрактально и следует законам D Хаусдорфовой размерности.
Например, "громкость" шума L как она слышится большинством
людей, пропорциональна интенсивности звука, возведенной в дробную
степень 0.3:





L = a I0.3 .





Удвоение громкости на рок-концерте требует увеличения выходной
мощности в десять раз, потому что





a (10 I)0.3 = 2 a I0.3 = 2 L .





На финансовых рынках, другой субъективной области, "время"
фрактально. Время не всегда движется в ритме маятника. Иногда
время - меньше. Фактически, мы имеем фрактальное время, уже
связанное с процессом Башелье, где логарифм вероятности движется
согласно





a T0.5 .





Башелье наблюдал, что, если интервал времени умножен на 4, интервал
вероятности увеличивается только в 2 раза. Другими словами,
в масштабе r = 4, число N подобных единиц вероятности будет
N = 2. Так что Хаусдорфова размерность в течении времени будет:





D = log N/ log r = log 2/ log 4 = 0.5 .





В движении от Башелье до Мандельброта, новизна не в наблюдении
того, что время фрактально: это был вклад Башелье. Вместо этого
возникает вопрос: Каково правильное фрактальное измерение течения
времени на спекулятивных рынках? Хаусдорфова размерность - D
= 0.5, или требуются иные величины? И если Хаусдорфова размерность
времени принимает другие значения, то какие?



Путь, которым Мандельброт сформулировал проблему, дает нам отправную
точку:



Несмотря на фундаментальную важность процесса
Башелье, который назывался "Броуновским движением",
стало очевидным, что он не объясняет обширные данные, накопленные
с 1900 года эмпирическими экономистами, просто потому, что
эмпирические распределения изменений цен обычно "пиковые"
так же, как и распределения Хаусса.
[6]



Что Мандельброт подразумевает под "пиковые"?
Пришло время поговорить о вероятности.


Вероятность - Фунтовая Банка Желе


Вероятность - фунтовая банка желе. Вы берете
желе и мажете его вдоль какой-то линии. Места, где Вы намажете
больше желе, имеют большее количество вероятности, в то время
как места, где Вы намажете меньше желе, имеют меньшее количество
вероятности. Некоторые места вообще останутся сухими. У них
нет никакой вероятности вообще-их вероятность - ноль.



Ключ здесь в том, что у Вас только один фунт желе. Так
что, если Вы намажете большее количество желе (вероятность)
в одном месте, Вы должны мазать меньше желе в другом.



Вот картина намазывания желе в форме колоколообразной кривой:







Желе мажут вдоль горизонтальной (реальной) линии, с однородной
толщины. Результат называется "стандартным нормальным распределением".
На этом рисунке, точка, где вертикальная линия максимальна,
больше всего желе, следовательно, они более вероятны.





Как мы видели ранее, поскольку желе полностью нормально распределяется
вдоль реальной (горизонтальной) линии от плюс до минус бесконечности.
Не можетт быть много желе на отдаленных концах, но есть некоторое
количество.



Теперь давайте поразмыслим над этой колоколообразной картиной.
Что Мандельброт подразумевает под распределением изменений цен,
являющихся "слишком пиковыми" чтобы получиться из
нормального распределения?





Имеет ли смысл утверждение Манделброта? Если мы намажем большее
количество желе в центре колоколообразной кривой, сделав ее
более высокой, мы можем это сделать, только взяв желе из какого-то
другого места. Предположим, что мы берем желе с концов и промежуточных
отделов распределения и складываем его в центре. Распределение
теперь "более пиковое". Оно больше сосредоточено в
одном месте. Оно имеет меньшее стандартное отклонение - или
меньшую дисперсию вокруг средней. Но оно все еще может быть
нормальным.





Так как с Мандельбротом? Что он имеет в иду? Мы поймем это в
3 части этой серии.




Щелкните здесь,
чтобы увидеть Ответ на Упражнение 1 из
Части 1. Этот материал может быть полезен в решении Упражнения
2.


А тем временем, вот два новых упражнения для
нетерпеливых студентов:





Упражнение 3: предположим, что Вы создали пыль Кантора,
используя другую процедуру. Нарисуйте линию. Затем разделите
эту линию на 5 частей и выбросьте вторую и четвертую части.
Повторите эту процедуру для каждой из оставшихся частей, и так
далее, до бесконечности. Каково фрактальное измерение пыли Кантора,
созданной таким образом? Каково ее топологическое измерение?
Создали ли Вы новый фрактал?





Упражнение 4: Предположим, мы записали все числа между
0 и 1 в троичной системе счисления. (Троичная система использует
степень 3 и числа 0, 1, 2. Троичное число 0.1202, например,
состоит из 1 x 1/3 + 2 x 1/9 + 0 x 1/27 + 2 x 1/81.) Покажите,
что пыль Кантора, которую мы создали здесь, в части 2 (с Хаусдорфовой
размерностью 0.6309) может быть создана, взяв все числа между
0 и 1, и удалив те из них, чье троичное разложение содержит
1. (Другими словами, что остались только те числа, чье троичное
разложение содержит 0 и 2.)




И наслаждайтесь фракталом:







Примечания




[1] Robert Brown, "Additional Remarks on Active Molecules,"
1829.



[2] Вязкость - неподвижность жидкости: мед более вязкий чем
вода, например. " Мед не колеблется так сильно. "



[3] Я использовал название известной Дуврской книги. Оригинальная
статья была написана по-немецки и называлась несколько по-иному.



[4] Я допускаю здесь подвох из-за неопределенного характера
"топологического измерения". Это частично разъясняется
в обсуждении пыли Кантора, и позднее, в части 3.



[5] H. Eugene Stanley, Fractals and Multifractals, 1991



[6] Benoit Mandelbrot, "The Variation of Certain Speculative
Prices," Journal of Business, 36(4), 394-419, 1963.




J. Orlin Grabbe - автор книги Международные
Финансовые Рынки, и всемирно признанный эксперт по деривативам.
Недавно он занялся криптологией, банковской безопасностью, и
электронными деньгами. Его домашняя страница расположена по
адресу

http://www.aci.net/kalliste/homepage.html.




from The
Laissez Faire City Times
,
Vol 3, No 22, May 31, 1999


Дата публикации: 24.11.2006
Прочитано: 2905 раз


Дополнительно на данную тему
Эффект БабочкиЭффект Бабочки
«Выход Люстры» и Вход на Основе Волотильности.«Выход Люстры» и Вход на Основе Волотильности.
Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 1Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 1
Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 3Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 3
Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 4Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 4
Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 5Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 5
Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 6Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 6
Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 7Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 7
Извлечение Выгоды из Сезона Ирнингов с Помощью Опционов.Извлечение Выгоды из Сезона Ирнингов с Помощью Опционов.
BondorsBondors
[ Назад | Начало | Наверх ]
Рекомендуем
Наши партнеры

Новости финансов


Главная | Статьи | Темы | Ипотека | Рекомендовать | Обратная связь

Hits Hosts News RSS