| Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 3 J. Orlin Grabbe Опасный Мир
Многие вещи в жизни случайны. Они управляются
вероятностью, удачей, опасностью, случаем, богом Гермесом, фортуной.
Так что мы измеряем их вероятностью - нашей фунтовой банкой
джема.
Места, куда попало больше джема, более вероятны, но следствие
из этого - сомнительно. Следующий результат может быть уже с
низким уровнем вероятности. Или же он может иметь высокую вероятность,
но так и не произойти.
Радиоактивный распад измеряется вероятностью. Расчетное время
самопроизвольного преобразования ядра (при котором оно излучает
радиацию, теряет электроны или подвергается расщеплению) не
может быть предсказано с достаточной уверенностью.
Некоторым людям не нравится этот аспект мироздания. Они предпочитают
полагать, что существуют "скрытые переменные", которые
действительно определяют радиоактивный распад, и если бы мы
только поняли, каковы эти скрытые переменные, он будет точно
предсказуемым, и мы смогли бы вернуться в рай Лапласовой вселенной.
Хорошо, но если бы существовали скрытые переменные, я уверен,
что кто - то уже идентифицировал бы их. Альберт Эйнштейн любил
говорить, "Бог не играет в кости". Но если бы Бог
захотел поиграть в кости, он не спрашивал бы разрешения у Альберта
Эйнштейна. Для меня это звучит подобно "скрытому"
- только под другим именем для вероятности. "Действительно
ли это был несчастный случай?" " Нет, он был вызван
скрытыми силами". Все теоретики скрытых переменных верят
в заговор.
Но где же догадка? Люди, верящие в Бога, не играют в кости,
они используют теорию вероятности настолько, насколько не всякий
другой. Так что, без дальнейшей суматохи, давайте вернемся к
нашему обсуждению вероятности.
Подбрасывание Монеты и Броуновское Движение
Мы можем создать своего рода Броуновское движение
(или процесс Башелье), подбрасывая монеты. Мы начнем с переменной
x = 0. Мы подбрасываем монету. Если монета упадет орлом, мы
прибавляем 1 к x. Если монета упадет решкой, мы вычитаем 1 от
x. Если мы обозначаем вход x, как x(n), а выход x, как x(n+1),
мы получаем динамическую систему:
x(n+1) = x(n) + 1, with probability p = ½
x(n+1) = x(n) – 1, with probability q = ½ .
Здесь n представляет текущий номер броска монеты и нашу
меру времени. Чтобы создать график этой системы, мы поместим
n (время) на горизонтальной оси, а переменную x(n) на
вертикальной оси. Это даст график очень простого типа Броуновского
движения (случайная прогулка), как видно на графике ниже. В
любой точке во времени (при любой величине n), переменная
x(n) представляет общее количество орлов минус общее количество
решек. Вот рисунок 10,000 бросков монеты:
Многое в финансах основано на простой модели
вероятности подобной этой. Позже мы изменим эту модель, поменяв
способ, которым мы измеряем вероятность.
Простой Стохастический Фрактал
Используя вероятность, легко создавать фракталы.
Например, вот динамическая система, которая создает Простой
Стохастический Фрактал. Система имеет две переменные, x и y,
как входы и выходы:
x(n+1) = - y(n)
y(n+1) = x(n)
с вероятностью p = ½ , но
x(n+1) = 1 + 2.8*(x(n)-1)/(x(n)*x(n)-2*x(n)+2+y(n)*y(n))
y(n+1) = 2.8*y(n)/(x(n)*x(n)-2*x(n)+2+y(n)*y(n))
с вероятностью q = ½.
Мы отображаем x и y на двумерном графике. Если монета падает
орлом, мы итерируем систему первыми двумя уравнениями. Эта итерация
представляет собой простой поворот на 90 градусов вокруг начала
координат (0,0). Если монета падает решкой, мы итерируем систему
по вторым двум уравнениям. Этот второй тип итерации сжимает
или расширяет текущую точку относительно (1,0).
Чтобы увидеть, как Простая Стохастическая Фрактальная система
работает в режиме реального времени, убедитесь, что ваш браузер
поддерживает Java, и щелкните
здесь. [2]
Простые стохастические динамические системы создают простые
фракталы, подобно тем, которые мы видим в природе и на финансовых
рынках. Но чтобы добраться от Башелье до Мандельброта, потребуется
измененить способ, которым мы измеряем вероятность, но
для нас будет полезно сначала поразмыслить о чем-то более простом,
типа способа, которым мы измеряем длину.
Научившись измерять длину, мы обнаружим, что вероятность - это
джем на тосте.
Повторное посещение Серпинского и Кантора
В части 2, когда мы смотрели на ковер Серпинского,
мы отметили, что он имеет Хаусдорфову размерность D = log 8/log
3 = 1.8927. Так, если мы имеем ковер Серпинского с длиной каждой
стороны 10, мы получаем
N = rD = 10D = 101.8927 = 78.12
меньших копий оригинала. (Для хорошего круглого числа мы можем
взять сторону длиной 9 футов и получим N = 91.8927 = 64 меньших
копии.) Так как каждая из этих меньших копий имеет длину каждой
стороны 1 фут, мы можем назвать их "квадратными футами".
Но на самом деле они - " квадраты Серпинского", потому
что ковер Серпинского не похож на обычный ковер.
Так что давайте зададимся вопросом: Каую площадь занимает ковер
Серпинского по отношению к обычному ковру? Мы имеем 78.12 меньших
копий оригинала. Так, если мы знаем, какую площадь (в пересчете
к обычному ковру) занимает каждая из этих меньших копий, мы
сможем умножить это число на 78.12 и получить ответ.
Гм-м-м. Чтобы вычислить ответ этот вопрос, давайте применим
тот же самый подход, что и с пылью Кантора. В случае пыли Кантора
мы взяли линию длиной в единицу и начали вырезать в ней отверстия.
Мы разделили ее на три части и выбросили среднюю треть, вот
так:
0__________________________________________________1
0________________1/3
2/3_______________1
У нас осталось 2/3 первоначальной длины. Затем мы выбросим средние
трети каждой из двух оставшихся линий, получив 2/3 того, что
было там прежде; то есть у нас осталось (2/3)(2/3), или (2/3)2.
И так далее. После N-ного шага вырезания средних третей,
длина оставшейся линии - (2/3)N.
Если мы берем предел как n ®
¥ (поскольку n стремится
к бесконечности), мы имеем (2/3)n ® 0 (то есть мы продолжаем
умножать остающуюся длину на 2/3, а значит, в конечном счете
уменьшаем оставшуюся длину до ноля). [3], так что пыль Кантора
имеет нулевую длину. Что осталось - бесконечное число разъединенных
точек, каждая с нулевым измерением. Так что можно сказать, что
пыль Кантра имеет топологическую размерность ноль. Даже при
том, что мы начали с долей линии длиной единица (с измерением
один), прежде, чем начали резать в ней отверстия.
Хорошо. Теперь давайте проделаем то же самое с ковром Серпинского.
У нас есть обычный квадрат и мы делим стороны на три части (делим
с масштабным коэффициентом 3), получаем 9 меньших квадратов.
Затем мы выбрасываем средний квадрат, оставляя 8 меньших квадратов,
как на рисунке ниже:
Так что мы оставили 8/9 первоначальной области.
Затем мы делим каждый из меньших квадратов и выбрасываем центры.
Каждый из них теперь имеет 8/9 своей первоначальной площади,
так что площадь большого квадрата уменьшилась до (8/9)(8/9)
его первоначального размера, или (8/9)2. На N-ном шаге этого
процесса у нас останется (8/9)N от первоначальной
площади. Взяв предел как n ®
¥ (n стремится к бесконечности),
мы имеем (8/9)n ® 0. Значит,
ковер Серпинского имеет нулевую площадь.
Что? Это по меньшей мере возмутительно. 78.12 меньших копий
оригинала ковра Серпинского, который измерялся 10 x 10 (или
64 меньших копий оригинального ковра Серпинского, который имел
размеры 9 x 9), фактически занимают нулевую площадь. По крайней
мере, при таких аргументах. При измерении таким способом.
Мы можем увидеть, что случится, если мы снова рассмотрим построение
ковра Серпинского. Обратите внимание на графике выше, что внешний
периметр первоначального большого квадрата не имеет никаких
дыр, когда мы создаем этот ковер. Так что внешний периметр формирует
петлю -: замкнутую линию в форме квадрата. Петля одного измерения.
Затем обратите внимание, что граница первого центрального
квадрата, который мы удаляем, также остается неповрежденной.
Она составляет вторую меньшую (квадратную) петлю: вторую замкнутую
линию одного измерения внутри первоначальной петли. Затем, центры
8 меньших квадратов также формируют еще меньшие (квадратные)
петли. Если мы продолжим этот процесс до бесконечности, то в
пределе останемся с бесконечным числом разрозненных петель,
каждая из которых - линия одного измерения. Это - ковер Серпинского.
Теперь о пыли Кантора, мы сказали, что у нас осталось бесконечное
число разрозненных точек, каждая с нулевым измерением, а затем
хотели сказать, что пыль Кантора имеет нулевую топологическую
размерность. Чтобы быть последовательными, мы тогда должны
сказать о ковре Серпинского, который составлен из бесконечного
числа разъединенных петель, каждая из одного измерения,
что он имеет топологическую размерность один.
Хм. Вы удивленно поднимаете брови. Ранее, в части 2, я сказал,
что ковер Серпинского имеет обычное (или топологическое) измерение
2. Это было так, потому что мы начали с комнаты 10 на 10 квадратов,
которую хотели застелить ковром. Так, интуитивно, измерение,
в котором мы работали, было 2.
Конфуз заключается в выражении "топологическое или обычное"
измерение. Это не одно и то же. Или, лучше сказать, нам нужна
большая точность. В случае ковра Серпинского, мы стартовали
в контексте двумерной замкнутой площади. Давайте назовем ее
Эвклидовой размерностью 2. Это соответствует нашему интуитивному
пониманию, что, покрывая площадь пола ковром, мы делаем это
в плане 2 измерений. Но, как только мы измерили все отверстия
в ковре, мы обнаружили, что мы остались с ковром, состоящим
из одних дыр. Он имеет нулевую площадь. Что осталось - бесконечное
число разъединенных закрытых петель, каждая из которых имеет
размерность один. Так, в этом отношении, скажем, что ковер Серпинского
имеет топологическую размерность один.
Таким образом, мы теперь имеем три различных измерения для ковра
Серпинского: Эвклидову размерность (E) 2, топологическую размерность
(T) 1, и Хаусдорфову размерность (D) 1.8927
Точно так же, чтобы создать пыль Кантора, мы начинаем с линии
одного измерения. Наше рабочее пространство - одно измерение.
Так что скажем, пыль Кантора имеет Эвклидову размерность (E)
1, топологическую размерность (T) 0 и Хаусдорфову размерность
(D) log 2/log 3 = 0.6309
Так что вот вам три различных способа [4] рассматривать одно
и то же: Эвклидова размерность (E), топологическая размерность
(T) и Хаусдорфова размерность (D). Какой способ лучше?
Каплями измерять не получится
Где-то (не могу вспомнить, где) я читал о примитивном
племени, которое имело такую систему счета: 1, 2, 3, много.Для
чисел, больших 3, названий не было. Все, что было больше трех,
называлось "много".
"К нам вторглись чужеземцы!" "Сколько их там?"
"Много!"
Это не очень хорошая система счисления, так как она не может
различить силу вторжения пять и силу вторжения пятьдесят.
(Конечно, если враг был в поле зрения, можно было бы обойти
нехватку чисел. Каждый член местного племени мог бы соединиться
с захватчиком, пока не останется ни одного неприсоединенного
захватчика, и результатом будет противостоящая сила, которая
соответствует числу силы вторжения. Джордж Кантор, нарушитель
спокойствия, придумавший теорию, назвал это однозначным соответсвием.)
"Много" Капля. Два других измерения капли: ноль
и бесконечность. Например, ковер Серпинского имеет нулевую
площадь и пыль Кантора - также . Но они - не одно и то же.
Мы получим чуть больше информации, если узнаем, что пыль Кантора
имеет топологическую размерность ноль, в то время как
ковер Серпинского имеет топологическую размерность один. Но
топология часто скрывает больше, чем показывает. Топологическая
размерность ноль не скажет нам, чем пыль Кантора отличается
от единичной точки. Топологическая размерность единица
не скажет нам, чем ковер Серпинского отличается от круга.
Если у нас есть, например, круг, то довольно легко измерить
его длину. Фактически, мы можем измерить лишь радиус r и использовать
формулу длины L (или "окружности" C)
L = C = 2 p r
где p = 3.141592653… точно известное
до миллионов десятичных знаков. Но предположим, что мы пытаемся
измерять длину ковра Серпинского? В конце концов, мы сказали
только, что ковер Серпинского имеет топологическую размерность
один, подобно линии, так какой он длины? Какова длина
эковра Серпинского по сравнению с длиной окружности?
Чтобы измерить ковер Серпинского, мы стали измерять все более
мелкие квадраты, так что надо делать нашу линейку все меньше
и меньше. Но, поскольку квадраты становятся все меньше, их становится
все больше. Мы вскоре обнаруживаем, что длина стремится к бесконечности.
Бесконечность. Капли. "Какой длины?" "Много!"
Береговые линии и Кривые Коха
Если Вы посмотрите в официальных справочниках
длины границ между странами, например, между Испанией и Португалией,
или между Бельгией и Нидерландами, Вы найдете, что они могут
отличиться чуть ли не на 20 процентов. [5]
Почему так? Потому что использовались линейки различной длины.
Посмотрите: один способ измерить длину чего-либо состоит в том,
чтобы взять линейку длины м., положить ее рядом с тем,
что Вы измеряете, отметить точку конца линейки и повторять процесс,
пока не получите число N линеек. Тогда для всей длины L объекта
Вы имеете
L = m N
(где "m N" значит "m, взятое N раз").
Например, предположим, что мы измеряем в футах, и мы имеем линейку
длиной в ярд (m = 3). Мы кладем линейку вдоль стороны
футбольного поля, и получаем N = 100 длин линейки. Так что вся
длина
L = 3 (100) = 300 футов.
И, если бы вместо использования ярдовой линейки мы использовали
бы меньшую, скажем, футовую, то все еще получили бы тот же самый
ответ. Используя такую линейку с m = 1 и N = 300, так
что L = 1 (300) = 300 футов. Это может работать для стороны
футбольного поля, но работает ли оно для береговой линии Англии?
А для длины границы между Испанией и Португалией?
Португалия - страна меньше чем Испания, и естественно, использовала
линейку более короткой длины. Это привело к расчетной длине
общей границы, которая была длиннее, чем по расчетам Испании.
Мы сможем понять, почему, если мы вообразим измерение, скажем,
береговой линии Англии. Если мы возьмем карту, проложим нить
вдоль западного побережья Англии, а затем умножим ее на масштаб
карты, то получим "длину" западной береговой линии.
Но если мы оторвемся от нашей спутниковой карты и лично посетим
побережье, то мы увидим, что там много выступов и впадин, мысов
и заливов. Чем меньшую линейку мы используем, тем длиннее будет
результат нашего измерения, потому что мы захватим больше неровностей.
Разница между береговой линией и стороной футбольного поля в
том, что береговая линия фрактальна, а сторона футбольного поля
- нет.
Чтобы понять принципы, давайте поиграем с так называемой кривой
Коха. Сначала построим ее. Затем измерим ее длину. Вы можете
представить кривую Коха, как часть береговой линии.
Возьмем отрезок линии. Скажем, ее длина L будет L = 1. Теперь
мы разделим ее на три части (каждая по 1/3 длины), и удалим
среднюю треть. Но мы заменим среднюю треть двумя отрезками (каждый
по 1/3 длины), которые можно представить, как две стороны равностороннего
треугольника. Это стадия два (b) конструкции на графике ниже:
В этой точке мы имеем 4 меньших доли, каждая
по 1/3 длины, так что вся длина - 4(1/3) = 4/3. Затем мы повторяем
этот процесс для каждой из 4 меньших долей линии. Это - стадия
три (c) на графике выше. Это даст нам 16 еще меньших долей линии,
каждая по 1/9 длины. Так что вся длина теперь 16/9 или (4/3)2.
На N-ной стадии длина будет (4/3)N, Если n
стремится к бесконечности, так же ведет себя и длина кривой
L. Конечный результат "в бесконечности" называется
кривой Коха. В каждой ее точке находится острый угол. Точно
так же как, скажем, Броуновское движение, наблюдаемое во все
меньших и меньших интервалах времени. (Если бы мы сделали расчет,
мы обратили бы внимание, что в любой точке нет тангенса, так
что кривая Коха не имеет производной. То же самое относится
и к дорожке Броуновского движения.)
Однако, кривая Коха непрерывна, поэтому мы можем взять воображаемый
карандаш и проследить ее (бесконечную) длину от одного конца
до другого. Так что, с топологической точки зрения, кривая Коха
имеет размерность один, точно так же как и первоначальная линия.
Или, как выразился бы тополог, мы можем растянуть первоначальную
линии в кривую Коха без разрезов или нарушения целостности первоначальной
линии в какой-либо точке, так что результат - все та же "линия",
имеющая топологическую размерность T = 1.
Чтобы вычислить Хаусдорфову размерность, мы замечаем, что на
каждой стадии конструкции мы заменяем каждую долю линии N =
4 долями, после деления первоначальной доли линии коэффициентом
масштаба r = 3. Так что ее Хаусдорфова размерность D = log 4/log
3 = 1.2618…
Наконец, когда мы строили кривую Koch, мы делали это, рассматривая
ее в Эвклидовом плане двух измерений. (Мы вообразили замену
каждой средней доли линии двумя сторонами равностороннего треугольника,
который также является фигурой 2 измерений.) Так что наше рабочее
пространство - Эвклидова размерность E = 2.
Но вот ключевой пункт: поскольку наша линейка становится все
меньше и меньше (после повторных делений на 3), измеренная длина
линии становится все больше и больше. Точно так же, как береговая
линия. (И точно так же, как дорожка Броуновского движения.)
полная длина (4/3)N стремится к бесконечности, поскольку n стремится
к бесконечности. В N-ной стадии конструкции мы имели
N = 4N долей линии, каждая длиной m = (1/3)N,
Так что общая длина L будет:
L = m N = (1/3)n 4n = (4/3)n.
Хорошо, здесь что-то не так с измерением длины таким способом.
Поскольку это привело нас к размерности капли. Бесконечность.
"Много".
Что длиннее, побережье Англии или побережья Франции? Нельзя
сказать. И то, и другое - бесконечности. Или, возможно, они
имеют одинаковую длину: а именно, бесконечность. Они длиной
"много". Хорошо, какой длины береговая линия Мауи?
Точно той же самой. (Вы чувствуете себя членом примитивного
племени, все же пытающимся считать?)
Использование Хаусдорфовой размерности
Проблема заключается в нашей линейке m.
Мы должны что-то сделать, чтобы устранить проблему, из-за которой,
когда m становится меньше, длина L становится больше.
Давайте поробуем. Вместо
L = m N ,
lдавайте отрегулируем m, возведя ее в некоторую степень
d. То есть заменим m на md:
L = md N .
Это изменит наш способ измерения длины L, потому что только
при d = 1 мы получаем ту же самую меру длины, как раньше.
Сделав так, заменив m на md, мы обнаруживаем,
что? при слишком малых величинах d, L все еще стремится
к бесконечности. Если же величина d чересчур велика,
L, стремится к нулю. Размерность Капли. Есть только одно
значение d, который является правилькым: а именно, Хаусдорфова
размерность d = D. Так что, наша мера длины становится:
L = mD N
Как это работает для кривой Коха? Мы видели, что для нее число
долей линии на стадии n будет N = 4N, В то
время как длина сегмента линии m = (1/3)N. Так мы
получаем новое измерение длины L кривой Коха (при D = log 4/log
3)):
L = mD N = ((1/3)n)D (4n) =
((1/3)n)log 4/log 3 (4n) =
4-n (4n) = 1.
Удача. Мы избавились от капель. Длина L кривой Коха,
оказывается, равна длине первоначальной доли линии. А именно,
L = 1.
Хаусдорфова размерность D - естественная мера, связанная с нашей
линейкой m. Если мы измеряем футбольное поле, то разрешение
D = 1 прекрасно работает, только, чтобы отмерить 100 ярдов.
Но если мы имеем дело с кривыми Коха или береговыми линиями,
тогда несколько иная величина D позволяет избежать бесполезных
упражнений, когда измеряемая длина полностью зависит от длины
линейки.
Чтобы удостовериться втом, что мы понимаем, как это работает,
давайте вычислим длину ковра Серпинского, построенного из квадрата
с начальной длиной каждой стороны 1. Для ковра Серпинского,
в каждой стадии N умножается на 8, в то время как линейка делится
на 3. Так что длина в стадии n:
L = mD N = ((1/3)n)D (8n)
= ((1/3)n)log 8/log 3 (8n)
= 8-n (8n) = 1.
Ого! Мы только что снова разрушили каплю! Мы имеем конечную
длину. Это не ноль, и не бесконечность. При этом измерении,
поскольку мы идем от первоначального квадрата до предела ковра
Серпинского, длина остается той же самой. Хаусдорфова мера
(площадь) ковра - 1, предполагая, что мы начали с квадрата,
который имел дину 1 с каждой стороны. (Мы можем неформально
сказать, что "площадь", покрытая ковром Серпинского
- " один квадратный Серпинский", потому что для конструкции
мы нуждаемся в Эвклидовом квадрате, длина каждой стороны которого
- 1.) [6]
[ Обратите внимание, что, если мы
используем d > D, типа d = 2, тогда длина
L ковра Серпинского стремится к нулю, поскольку n стремится
к бесконечности. А если мы используем d < D, типа
d = 1, тогда длина стремится к бесконечности, поскольку
n стремится к бесконечности. Итак, вычисления, использующие
Эвклидову размерность E =2 приводят к нулевой "площади",
в то время как вычисления, использующие топологичскую размерность
T=1 ведут к бесконечной "длине". Размерность Капли.]
Если же вместо этого мы возьмем ковер Серпинского длиной каждой
стороны 9, то вычисляя "площадь", мы обращаем внимание,
что число копий Серпинского начального квадрата, который имеет
сторону длины 1 - (разделив каждую сторону на r = 9 частей)
N = rD = 9D = 64. Таким образом, используем
число квадратов Серпинского со стороной длины 1, как основу
для нашего измерения, Ковер Серпинского с 9 каждой стороны
имеет "площадь" N = 9D = 91.8927…
= 64. Ковер Серпинского с 10 каждой стороны имеет "площадь"
N = 101.8927… = 78.12. И так далее.
Хаусдорфова размерность D = 1.8927… ближе к 2, чем к 1, так
наличие "площади" 78.12 (которая находится в районе
102 = 100) для длины стороны 10 - красивее эстетически,
чем высказывания о нулевой "площади".
Такой способ смотреть на вещи позволяет нам избежать необходимости
говорить о двух коврах Серпинского (один со стороной 9, другой
со стороной 1): "О, они в точности одинаковы. Они оба имеют
нулевую площадь. Они оба имеют бесконечную длину!" Ла-ла-ла,
капля, капля.
Чтобы уидеть Фрактал Ковра Серпинского, созданный в режиме реального
времени с использованием вероятности, убедитесь, что ваш браузер
поддерживает Java, и
щелкните здесь.
Сессия джема
Один из важных пунктов обсуждения выше - степень
(особенно Хаусдорфово D) в которую мы возводим, критична для
результата измерений. Если мы "квадрируем" (возводим
в степень 2), то время от времени, когда 2 не соответствует,
мы получаем эквивалент размерности капли, говоря, "этот
коэффициент регресса - \'много\' ".
К сожалению, люди, которые измеряют, часто используют неверное
измерение, думая, что они говорят о чем-то ином. чем "много".
Они думают, что их измерения что-то означают. Они заблуждаются.
Много эмпирических и других результатов в финансах - упражнения
по самообольщению, потому что в вычислениях использовалось неверное
измерение.
Когда Луи Башелье в 1900 году дал первое математическое описание
Броуновского движения, он говорил о вероятности изменений ценового
распределения по квадратному корню от времени. Мы изменили это,
сказав, что вероятность логарифма ценового распределения
меняется с квадратным корнем времени - и с этого времени,
без дальнейшего обсуждения, мы притворимся, что это говорил
и Башелье.
Проблема, которую мы хотим рассмотреть - соответствует ли измерение
времени D = ½. Чтобы вычислить вероятность, должны ли
мы использовать T1/2, Или TD, где D может
принимать значения, отличные от ½?
Это то, что имел в виду Мандельброт, когда он сказал, что эмпирическое
распределение изменений цен "слишком пиковое" чтобы
получиться из нормального распределения. Поскольку измерение
D = ½ соответствует лишь контексту нормального распределения,
которое является результатом простого Броуновского движения.
Мы исследуем эту проблему в части 4.
Примечания
[1] Интерпретация скрытых переменных квантовой
волны Дэвида Бома (согласно правилам квантовой вероятности)
обсуждается в John Gribbin, Schrodinger’s Kittens and the
Search for Reality, Little, Brown and Company, New York,
1995.
[2] Если ваш компьютерный монитор имеет большее разрешение,
чем принятое здесь, Вы сможете увидеть гораздо большее количество
фрактальных деталей, используя большую область, чем 400 х 400
пикселей. Только замените в программе "200" на половину
от вашей ширины в пикселях, и запустите апплет.
[3] Обратить внимание, что в части 2 мы измеряли длину долей
линии, которые мы выбрасываем. Здесь, однако, мы измеряем
длину доли линии, которая остается позади. Оба довода,
конечно, ведут к тому же самому заключению.
[4] Эта троичная классификация соответствует таковой в Benoit
B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W.H. Freeman
and Company, New York, 1983.
[5] L. F. Richardson, "The problem of contiguity: an appendix
of statistics of deadly quarrels," General Systems Yearbook,
6, 139-187, 1961.
[6] Используется ли выражение по отношению к результатам ковра
" 1 квадратный Серпинский" или " 1 Серпинский"
или " ковер с длиной стороны 1" , все это только вопрос
вкуса и семантического удобства.
J. Orlin Grabbe - автор книги Международные
Финансовые Рынки, и всемирно признанный эксперт по деривативам.
Недавно он занялся криптологией, банковской безопасностью, и
электронными деньгами. Его домашняя страница расположена по
адресу
http://www.aci.net/kalliste/homepage.html.
from The
Laissez Faire City Times,
Vol 3, No 22, May 31, 1999
Дата публикации: 24.11.2006
Прочитано: 2746 раз
Дополнительно на данную тему
|
Регистрация или вход
