J. Orlin Grabbe

Луи Башелье Посещает Нью-Йоркскую Биржу

Луи Башелье, воскресший на время, недавно,
в конце мая 1999 года, посетил нью-йоркскую биржу. Он был несколько
озадачен всеми этими отвратительными бетонными барьерами вокруг
здания на углу Брод и Уолл стрит. На мгновение ему показалось,
что он в Вашингтоне, округ Колумбия, на Пенсильванской Авеню.



Башелье сопровождал гид по имени Пит, из ангелов. "Бетонные
блоки - это из-за Осама бен Ладена," пояснил Пит. "Он
террорист." Пит не потрудился упомянуть, что блоки лежали
там уже на протяжении многих лет. Он знал, что Башелье не поймет
разницу.



"Террорист?"



"Вы знаете, бандит, негодяй "



"О," поразмыслил Башелье. "Бен Ладен. Сын Ладена."



"Да, а раньше был Абу Недал."



"Абу Недал. Отец Недала. Эй! Ладен - это только Недал,
записанный наоборот. Так что мы ушли от отца Недала к сыну опять
Недалу? "



"Да," загадочно сказал Пит. "Если Вы хотите понять
все это, почитайте о \'Goldstein\' и ежедневно перечитывайте \'Две
Минуты Ненависти\' в книге Джорджа Оруэлла 1984."



"1984? Давайте посмотрим, это было пятнадцать лет назад,
" сказал Бачелиер. "Историческая монография?"



"На самом деле, футуристическая. Но тот, кто контролирует
настоящее, контролирует прошлое, а тот, кто контролирует прошлое,
контролирует будущее."



Башелье был смущен таким разговором, но, как только они попали
внутрь, и он увидел торговый зал, он сразу почувствовал себя,
как дома. Покупка, продажа, меняющиеся цены. Меловые доски теперь
стали электрическими, и это сделало воздух намного чище.



"Смотрите," обрадовался Башелье, "Средний индекс
Доу-Джонса все еще существует!"



"Да," кивнул Пит, "но появилось еще много других.
Типа S&P500 и сводного индекса нью-йоркской биржи."



"Я хочу получить кое-какие цифры!" с энтузиазмом воскликнул
Башелье. Прежде, чем уйти, они сумели выудить у кого - то цены
закрытия индекса NYSE за последние 11 дней.



"Вы можете написать книгу, " сказал Пит. " Назовите
ее Одиннадцать Дней в Мае. Апокалиптические названия
- обо всех страстях этих дней - исключительно на рынке акций.
"



Башелье не ответил. Он схватил карандаш и бумагу и пытался вычислить
логарифмы через разложение в ряды. Пит некоторое время наблюдал
в тишине, потом сжалился и вытащил карманный калькулятор.



"Позвольте мне показать Вам действительно стоящее изобретение,"
сказал ангел.

Масштаб Башелье для Цены Акции

Вот данные Башелье за одиннадцать майских дней.
Календарная дата у нас - в первой колонке таблицы; NYSE Composite
Average, S(t) - во второй колонке; log S(t) - в третьей колонке;
изменение логарифма цен, x(t) = log S(t) – log S(t-1) - в четвертой
колонке и x(t)2 - в последней колонке. Сумма переменных последней
колонки приводится в низу таблицы

Что все это значит?



Переменные x(t), которые являются изменениями логарифмов цен
за один торговый день, это именно те переменные, которые интересовали
Башелье в свете его теории Броуновского движения в применении
к рынку акции:



x(t) = log S(t) – log S(t-1).



Бачелиер думал, что они должны иметь нормальное распределение.
Согласно Части 4, нормальное
распределение имеет параметр места m и параметр масштаба c.
Значит, Башелье пытается вычислить m и c, предполагая,
что они одинаковы в любой день.



Параметр местоположения m - легко. Это ноль, или довольно близко
к нолю.



На самом деле, это не совсем ноль. По существу, есть дрейф в
движении индекса акции S(t), созданный различием между
процентной ставкой и дивидендами на акции в среднем. [1] Но
он пренебрежительно мал на протяжении наших одиннадцати дней
торговли (которые дают нам десять значений x(t)). Так
что Бачелиер предполагает, что m - ноль.



Так что Башелье пробует по данным оценить c.



Согласно Части 2, если сегодняшняя
цена - P, Башелье моделировал интервал вероятности около
логарифма изменения цен



(log P – a T^0.5, log P + a T^0.5),
для некоторой постоянной a.



Но теперь мы запишем нашу цену индекса акции как S, а
не P; и постоянная - это лишь наш параметр масштаба c.
Так Башелье заинтересовался интервалом вероятности



(log S – c T^0.5, log S + c
T^0.5), для данного параметра масштаба c.



Один способ оценки масштаба c (c также называется
"стандартным отклонением" в контексте нормального
распределения) требует сложить все квадраты x(t), и взять
среднее (разделив на число наблюдений). Это дает нам возможность
оценить расхождение, или c² . Теперь мы просто
извлекаем квадратный корень, чтобы получить собтвенно масштаб
c. (Это называется определителем максимальной вероятности
для стандартного отклонения.)



Сложение значений правой колонки таблицы дает нам величину .001229332.
И есть 10 наблюдений. Так что мы имеем



расхождение = c² = .001229332/10 = ..0001229332.



Взяв квадратный корень из этого, мы имеем



стандартное отклонение = c = (.0001229332)^0.5 = .0110875.



Так что интервал изменения вероятности Башелье для log S
получается:



(log S – .0110875 T^0.5, log S
+ .0110875 T^0.5).



Чтобы получить интервал вероятности для собственно цены S,
мы лишь возьмем экспоненциал (возведем в степень exp
= e = 2.718281 ‹) и получим



( S exp(– .0110875 T^0.5), S exp(.0110875
T^0.5) ).



Так как текущая цена 28 мая, по таблице, равна 622.26, этот
интервал будет:



(622.26 exp(– .0110875 T^0.5), 622.26 exp(.0110875
T^0.5) ).



"Это выражение для интервала вероятности сообщает нам распределение
вероятности в течение следующих T дней, " объяснил Башелье
Питу. "Теперь я понимаю то, что Вы имели в виду. Тот, кто
контролирует настоящее, контролирует прошлое, потому что он
может получить прошлые данные. В то же время, от того, как он
справляется с этими прошлыми данными, он может контролировать
будущим, потому что может вычислять будущие вероятности! "



"Хм-м. Это не совсем то, что я имел в виду," ответил
ангел. "Но не берите в голову."



За следующие 10 торговых дней мы имеем T^0.5 = 10^0.5
= 3.162277. Так, подставляя в интервал вероятности цену, мы
получаем



(622.26 (.965545), 622.26 (1.035683)) = (600.82, 644.46).



Этот интервал вероятности дает ценовой диапазон плюс - минус
один параметр масштаба (в логарифмах) c. Для нормального
распределения, которое соответствует вероятности 68 процентов.
Согласно этим расчетам, с вероятностью 68 процентов цена будет
лежать между 600.82 и 644.46 еще через 10 торговых дней,.



Чтобы получить интервал вероятности 95 процентов, мы
используем плюс - минус 2c,



(622.26 exp(– (2) .0110875 T^0.5), 622.26 exp( (2)
..0110875 T^0.5) ),



что дает нам интервал цен на следующие 10 дней



(580.12, 667.46).

Волатильность

На финансовых рынках параметр масштаба c часто
называется "волатильностью". Так как обычно принимается
нормальное распределение, "волатильность" относится
к стандартному отклонению.



Здесь мы измерили масштаб c, или волатильность, на основании
одного торгового дня. Величина c, которую мы вычислили, c
= ..0110875, была рассчитана на 10 дней, так что ее можно назвать
"10-дневной исторической волатильностью" рынка. Если
рассчитывать за 30 торговых дней, это была бы "30-дневная
историческая волатильность".



Однако, рыночная традиция диктует необходимость двух критериев,
в соответствии с которыми указывается волатильность:

• 
  

  волатильность котируется на ежегодной
  (а не ежедневной) основе;
  
  

  
  


• 
  

  котировки волатильности даются в процентах
  (а не в десятичных числах).

  
  

Для преобразования нашей дневной волатильности
c = .0110875 в годовую, обратим внимание, что в году приблизительно
256 торговых дней. Квадратный корень из 256 - 16, так что для
перевода дневной волатильности в годовую мы просто умножаем
ее на 16:



годовая c = 16 (дневная c) = 16 (.0110875) = ..1774.



Затем преобразуем ее в проценты (умножим на 100 и назовем полученное
"процентом"):



годовая c = 17.74 процента.



В течение исследуемого периода в мае индекс NYSE Composite имел
историческую волатильность 17.74 процентов.



Обратите внимание, что годовая волатильность 16 процентов
соответствует дневной волатильности 1 процент. Такие
полезные отношения надо помнить, потому что мы можем посмотреть
на цену или индекс, мысленно поделить на 100, и сказать, что
изменение цен будет падать в диапазоне плюс - минус ъто количество
с вероятностью 2/3 (приблизительно). Например, если текущая
волатильность золота - 16 процентов, а цена 260 $, то мы можем
сказать, что изменение цен следующего дня будет падать в диапазоне
плюс - минус 2.60 $ с вероятностью 2/3.



Заметьте, что 256 торговых дней дают нам интервал вероятности,
который только в 16 раз больше, чем интервал вероятности 1 дня.
Это переводится в Гаусдорфову размерность времени (в вычислении
вероятности) как D = log(16)/log(256) = ½ или 0.5, что
является лишь законом квадратного-корня-T (T0.5) Башелье-Эйнштейна.



Способ, которым мы вычислили масштаб c, называется "историческая
волатильность", потому что мы использовали фактические
исторические данные, чтобы найти c. На рынках опционов
есть другая мера волатильности, называемая "подразумеваемая
(рассчетная) волатильность." Подразумеваемая волатильность
находится, вычисляя волатильность c, исходя из текущей
цены опциона (используя формулы оценки). Следовательно эта волатильность,
которая принадлежит будущему (особенно будущей жизни опциона)
подразумевается ценой, по которой торгуется опцион.

Фрактальные Суммы Случайных Переменных

Теперь - для забавы. Мы рассмотрели случайные
переменные x(t) (представляющие изменения логарифмов
цены).



Предположив, что эти случайные переменные нормальны, мы оценили
параметр масштаба c, который позволяет нам вычислить
вероятности.



Чтобы оценить c, мы взяли суммы случайных переменных
(или, в данном случае, суммы квадратов x(t)).



Наши вычисления корректны и имеют силу? В них есть какой-то
смысл? Ответ на эти вопросы зависит от проблемы распределения
вероятности суммы случайных переменных. Как распределение
суммы касается распределений отдельных случайных переменных,
сложенных вместе?



Для ответа на этот вопрос мы хотим сосредоточиться на способах,
которыми мы можем получить параметр местоположения m,
и параметр масштаба c. Для нормального распределения,
m. существует среднее, но для распределения Коши
среднего нет ("оно бесконечно"). Для нормального распределения,
параметр масштаба c - стандартное отклонение, но для
распределения Коши стандартного отклонения не существует. Однако,
местоположение m и масштаб c существуют для распределения Коши.
Оценщик максимальной вероятности для c не будет тем же самым
в случае распределения Коши, каким он был для нормального. Мы
не можем брать квадраты, если x(t) имеет распределение Коши.



Предположим, мы имеем n случайных переменных X_i,
все с одинаковым распределением, и мы вычисляем их сумму
X:



X = X₁ + X₂ + … + X_n-1 + X_n.



Распределение суммы X имеет простую форму? В частности,
можем мы связать распределение X и обычное распределение
X_i? Давайте будем даже более определенными.
Мы смотрели на нормальное (Гауссово) распределение и распределение
Коши, оба они имели параметры местоположения m и масштаба
c. Если каждый из X_i имеет местоположение
m и масштаб c, как при нормали, так и при Коши,
может ли эта информация быть переведена в местоположение и масштаб
для суммы X?



Ответ на все эти вопросы - да, для класса распределений называемых
устойчивыми распределениями. И нормальное и Коши
- устойчивые распределения. Но их намного больше.



Для краткости мы будем использовать знак "~", вместо
выражения "имеет то же самое распределение, как "
Например,



X₁ ~ X₂



означает, что X₁ и X₂ имеют одинаковое
распределение. Мы будем использовать "~" в следующем
определении устойчивых распределений:



Определение: случайная переменная X, как считается, имеет
устойчивое распределение, если для любого n >=
2 (большего или равного 2), существует положительное число C_N
и реальное число D_N, как



X₁ + X₂ + … + X_n-1 + X_n
~ C_n X + D_n



где X₁, X₂, …, X_n являются
всеми независимыми копиями X.



Подумайте о том, что означает это определение. Если их распределение
устойчиво, то сумма n идентично распределенных случайных
переменных имеет то же самое распределение как любая из них,
исключая умножение на фактор масштаба C_N и дальнейшую
регулировку местоположения D_N .



Не напоминает ли это Вам о фракталах? Фракталы - геометрические
объекты, которые выглядят одинаково на различных масштабах.
Здесь мы имеем случайные переменные, чьи распределения вероятности
выглядят одинаково на различных масштабах (если не добавлять
фактор DN).



Давайте определим еще два термина. [2]



Определение: Устойчивая случайная переменная X строго
устойчива, если D_N = 0.



Так что строго устойчивые распределения - явные фракталы
по природе, потому что сумма n независимых копий основных членов
распределения точно та же самая, как и собственно основное распределение,
однажды отрегулированное фактором масштаба C_N.
Один из типов строго устойчивых распределений - симметричные
устойчивые распределения.



Определение: устойчивая случайная переменная X симметрично
устойчива, если симметрично ее распределение - то есть,
если X и -X имеют одинаковые распределения.



Параметр масштаба C_N обязательно имеет форму [3]:



C_n = n^{1/ a} ,
где 0< a <=2.



Так что, если мы имеем n независимых копий симметричного
устойчивого распределения, их сумма имеет то же самое распределение
с масштабом, в n^1/a раз большим.



Для нормального, или Гауссового распределения, a
= 2. Так для n независимых копий нормального распределения,
их сумма имеет масштаб в n^1/a = N^1/2
раз больший.



Для распределения Коши, a = 1. Так
что, для n независимых копий распределения Коши, их сумма
имеет масштаб, в n^1/a = N^1/1
= N раз больший.



Таким образом, если бы, например, Броуновские частицы имели
распределение Коши, их масштаб следовал бы не согласно закону
T^0.5, а, скорее, согласно закону T!



Заметьте, что мы можем вычислить также Гаусдорфову размерность
для симметрических устойчивых распределений. Если мы разделим
симметрическую устойчивую случайную переменную X на фактор
масштаба c = n^1/a, мы получим эквивалент вероятности
[4] N = n копий X/n^1/a. Так что Гаусдорфова
размерность



D = log N/ log c = log n/ log(n^{1/ a}
) = a .



Это дает нам простую интерпретацию a. Параметр a - просто Гаусдорфова
размерность симметричного устойчивого распределения. Для нормального,
Гаусдорфова размерность равна 2, эквивалентно плоскости. Для
Коши, Гаусдорфова размерность равна 1, эквивалентно линии. Между
ними лежит полный диапазон величин, включая симметричные устойчивые
распределения с эквивалентом Гаусдорфовой размерности Кривой
Коха (log 4/log 3) и Ковра Серпинского (log 8/log3).

Игры с Логистическим Искусством

Теперь, когда мы проработали путь вглубь вопроса,
давайте отвлечемся от теории вероятности и снова обратим внимание
на динамические системы. В частности, давайте посмотрим на нашего
старого друга - логистическое уравнение:



x(n+1) = k x(n) [1 – x(n)],



где x(n) - входная переменная, x(n+1) - выходная переменная,
а k - постоянная.



В Части 1 мы рассматривали версию
этого уравнения, где k = 4. В целом, k принимает
значения 0 < k < = 4.



Динамическое поведение этого уравнения зависит от величины k,
а также от стартового значения, или отправной точки, x(0).
Позже мы исследуем, как меняется поведение этого уравнения,
при изменении k. Но не сейчас.



Вместо этого мы собираемся рассмотреть это уравнение, когда
мы подменяем реальную переменную x сложной переменной
z:



z(n+1) = k z(n) [1 – z(n)].



Сложные числа z имеют форму



z = x + i y,



Сложные числа обычно отображаются на графике, с x на
горизонтальной ("реальной") оси, в то время как y
находится на вертикальной ("воображаемой") оси.



Это означает, что когда мы итерируем z, мы фактически
итерируем две величины - x в горизонтальном направлении
и y в вертикальном направлении. Сложное логистическое уравнение:



x + i y = k (x + i y) [ 1 – (x + i y)].



(Обратите внимание, что я опустил знаки x(n) и y(n) и использовал
только x и y, чтобы сделать прочтение уравнения
более легким. Но имейте в виду, что x и y с левой
стороны уравнения представляют выход, в то время как
x и y справа - вход.)



Выход x, реальная часть z, составлена из
всех значений, которые не умножены на i, в то время как
выход y, воображаемая часть z, состоит
из всех величин, которые умножены на i.



Чтобы закончить преобразование логистического уравнения, мы
позволим k также быть сложным и запишем



k = A + B i,



данное в окончательной форме:



x + i y = (A + B i) (x + i y) [ 1 – (x + i y)].



Теперь мы все это перемножим. Результат - два уравнения для
х и y:



x = A (x-x2+y2) + B (2xy-y)

y = B (x-x2+y2) - A (2xy-y).



Как и в реальной версии логистического уравнения, поведение
уравнения зависит от множителя k = A + B i (то есть на A и B),
также как от начальной стартовой величины z = x + i y (то есть
на х(0) и y(0)).

Наборы Джулии

В зависимости от k, некоторые начальные
значения z(0) = x(0) + i y(0) после некоторого числа
повторений уходят в бесконечность. То есть, значения выхода
z становятся все больше и больше, стремясь к бесконечности.
Так как z состоит из x и y, мы используем
в качестве критерия для "получения большего " значения



x² + y².



Квадратный корень этого числа называется модулем z,
и представляет длину вектора от начала (0,0) до точки z =
(x, y). В итерациях мы хотим увидеть критерий для определения,
стремится ли уравнение к бесконечности



x² + y² > 4,



это подразумевает, что модуль z больше 2.



Когда уравнение итерировано, некоторые стартовые значения отклоняются
к бесконечности, а некоторые - нет. Набор Джулии -
это набор стартовых значений z, которые остаются конечными при
итерации. То есть, набор Джулия - такой набор всех стартовых
значений (x(0), y(0)), когда выход уравнения не уходит в бесконечность
при итерации уравнения.



Каждое значение k даст иной набор Джулии .



Давайте возьмем пример. Пусть k = 1.678 + .95 i..
То есть A = 1.678, а B = .95. Мы даем стартовым величинам x(0)
диапазон от -.5 до 1.5, а стартовым величинам y (0) - диапазон
от -0.7 до +0.7.



Значение k всегда постоянно, так что мы строим график
набора Джулии, при k = 1.678 + .95 i.



Мы итерируем уравнение 256 раз. Если в конце 256 повторения
модуль z - не больше 2, мы красим отправную точку (x(0),
y(0)) в черный цвет. Так что набор Джулии в этом примере
окрашен черным. Если модуль z превышает 2 в течение
итераций, отправная точка (x (0), y (0)) получает цвет
в зависимости от скорости, с которой уравнение уходит в бесконечность.



Чтобы увидеть демонстрацию, убедитесь, что ваш браузер поддерживает
Java и
щелкните здесь.



Мы можем создать рисунок, который выглядит полностью иным, придавая
различные назначения цветам. В следующей демонстрации мы снова
итерируем динамическую систему 256 раз с различными стартовыми
величинами z(n). Если в процессе итерации модуль z
превышает 2, то мы знаем, что итерации отклоняются, так что
мы окрашиваем стартовую точку z(0) = (x(0), y(0)) черным.
Следовательно, черная область рисунка составлена изо всех
точек не из набора Джулии. Для набора Джулия мы назначаем
яркие цвета. Назначенный цвет зависит от величины z после
256 повторений. Например, если квадрат модуля z больше
.6, но меньше .7, точка z (0) окрашивается в светло-красный
цвет. Следовательно, цвета набора Джулии указывают на значение
модуля z в конце 256 повторений.



Чтобы увидеть вторую демонстрацию того же самого уравнения,
но с такой альтернативной картографией цвета, убедмтесь, что
ваш браузер поддерживает Java и щелкните
здесь.



Так из сложного логистического уравнения динамической системы
мы создали фрактал. Граница набора Джулии определяется k
в уравнении, и эта граница была создана работой Эвклидова пространства
2 измерений, имеет топологическое измерение 1, но имеет Гаусдорфову
размерность, которая располагается между этими двумя числами.



Тем временем мы прошли путь от математики до искусства. Или
возможно, искусство было там все время. Мы должны были лишь
научиться понимать его.

Примечания

[1] Это эквивалент Теоремы Процентного Паритета
для рынка акций, которая связывает форвардную цену F (t+T) валюты,
t - дни в будущее с текущей ценой спот S(t). Для рынка форекс,
отношения могут быть записаны, как:



F(t+T) = S(t) [1 + r (T/360)]/[1+r*(T/360)]



где r - внутренняя процентная ставка (скажем, долларовая процентная
ставка), а r* - иностранная процентная ставка (скажем, процентная
ставка по евро). Ттогда S - цена спота доллар - евро, а F -
форвардная цена доллар - евро.



Мы можем также использовать это уравнение, чтобы получить форвардную
цену F индекса акции относительно его текущей цены S, когда
r* должен быть уровнем дивидендов на индексе акций.



(Более точное вычисление разделило бы "уровень дивидендов"
на фактические дни и количество выплаченных дивидендов.)



Эти отношения подробно исследуются в Главе 5, "Forwards,
Swaps, and Interest Parity," in J. Orlin Grabbe, International
Financial Markets, 3^rd edition, Prentice-Hall,
1996.



[2] Определения здесь соответствуют таковым в Gennady Samorodnitsky
and Murad S. Taqqu, Stable Non-Gaussian Random Processes:
Stochastic Models with Infinite Variance, Chapman &
Hall, New York, 1994.



[3] Это Теорема VI.1.1 в William Feller, An Introduction
to Probability Theory and Its Applications, Vol 2, 2^nd
ed., Wiley, New York, 1971.



[4] ЕслиY = X/n^{1/ a}
, то для n независимых копийY,



Y₁ + Y₂ + … + Y_n-1 + Y_n
~ n^{1/ a} Y
= n^{1/ a} (X/n^{1/ a}
) = X.

J. Orlin Grabbe - автор книги "Международные
Финансовые Рынки", и всемирно признанный эксперт по деривативам.
Недавно он занялся криптологией, банковской безопасностью, и
электронными деньгами. Его домашняя страница расположена по
адресу

http://www.aci.net/kalliste/homepage.html.

from The
Laissez Faire City Times,
Vol 3, No 22, May 31, 1999

Дата публикации: 24.11.2006
Прочитано: 2818 раз

---

Дополнительно на данную тему

---

Эффект Бабочки

«Выход Люстры» и Вход на Основе Волотильности.

Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 1

Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 2

Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 3

Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 4

Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 6

Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 7

Извлечение Выгоды из Сезона Ирнингов с Помощью Опционов.

Bondors