| Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 6 J. Orlin Grabbe Барабанный бой Прехтера
Роберт Прехтер (Robert Prechter) - барабанщик.
Он столкнулся со следующей проблемой. Он хотел ударить в свой
барабан три раза, с двумя интервалами в таком отношении:
1<------------g-------------->2<--------------------h-------------------->3
Он хочет, чтобы отношение первого интервала ко второму было
таким же, как отношение второго интервала ко всему времени,
требуемому для трех ударов.
Пусть первый интервал (между ударами 1 и 2) будет г,
а второй (между ударами 2 и 3) - h. Прехтер хочет.
чтобы отношение г к h было таким
же, как h к целому. Однако, целое - это просто
г + h, так что Прехтер ищет такие г
и h:
g / h = h / (g+h).
Хорошо. Прехтер ищет лишь специфическое отношение. Ему все равно,
играет он на барабане медленно или быстро. Так что h
может быть каким угодно: 1 наносекунда, 1 секунда, 1 минута,
или что-то подобное. Так что давайте присвоим h
= 1. (Обратите внимание, что, регулируя h = 1,
мы выбираем нашу единицу измерения.) Мы тогда имеем
g / 1 = 1 / (1+g).
Умножая уравнение, мы получаем
g2 + g – 1 = 0.
Это дает два решения:
g = [- 1 + 50.5] / 2 = 0.618033…, и
g = [- 1 - 50.5] / 2 = -1.618033…
Первое, положительное решение (g = 0.618033 ‹)
называется золотым сечением. Используя h = 1
в качестве нашего масштаба измерения, то g,
золотое сечение, будет решением отношения
g / h = h / (g+h).
По контрасту, если мы используем g = 1 в качестве
масштаба измерения и найти h, мы имеем
1 / h = h / (1+h),
что дает уравнение
h2 - h – 1 = 0.
Что дает такие два решения:
h = [ 1 + 50.5] / 2 = 1.618033…, и
h = [ 1 - 50.5] / 2 = -0.618033…
Обратите внимание, что, так как единицы измерения - случайны,
h требует столько же, как и g для
решения барабанного боя Прехтера. Естественно, g
и h взаимосвязаны:
h (используя g как единицу шкалы)
= 1/ g (используя h как единицу
шкалы).
как для положительных, так и для отрицательных решений:
1.618033… = 1/ 0.618033…
-0.618033… = 1/ -1.618033.
Каково значение отрицательных решений? Они также имеют физическое
значение, в зависимости от того, где мы размещаем начало
времени. Например, пусть второй удар барабана будет
во время t=0:
<------------g-------------->0<--------------------h-------------------->
Тогда мы находим, что для g = -1.618033, h
= 1, мы имеем
-1.618033 /1 = 1/ [1 - 1.618033].
Так что отрицательные решения говорят нам то же, что и положительные;
они привязаны к началу времени t = 0 для второго удара
барабана.
То же относится и к g = 1, h = -0.618033,
тогда
1 / -0.618033 = -0.618033/(1 – 0.618033),
Но в этом случае время идет назад,
а не вперед.
Золотое сечение g, или его эквивалент h
можно найти повсюду в природе. Этому предмету были посвящены
многочисленные книги. Эти же самые отношения найдены и на финансовых
рынках.
Симметричные Устойчивые Распределения и Закон Золотого
Сечения
В Части 5 мы
видели, что симметричные устойчивые распределения - распределения
вероятности, фрактальные по природе: сумма n независимых
копий симметричного устойчивого распределения связана с каждой
копией фактором масштаба n1/ a,
где a - Гаусдорфова размерность данного
симметричного устойчивого распределения.
В случае нормального или Гауссового распределения, Гаусдорфова
размерность = 2, что эквивалентно размерности плоскости.
Процесс Башелье, или Броуовское движение (как описано в Части
2), управляется законом T1/a
= T1/2.
В случае распределения Коши (Часть 4),
Гаусдорфова размерность = 1, что эквивалентно размерности
линии. Процесс Коши управлется законом T1/a
= T1/1 = T.
Вообще, 0 < a <=2. Это означает,
что между Коши и Нормалью располагаются все виды интересных
распределений, включая имеющих такую же Гаусдорфову размерность,
как у ковра Серпинского (a = log
8/ log 3 = 1.8927….) или кривой Коха (a
= log 4/ log 3 = 1.2618…).
Интересно, однако, что многие финансовые переменные имеют симметричные
устойчивые распределения с параметром a,
лежащим около величины h = 1.618033, где h
обратно золотому сечению g, полученному в предыдущем
разделе. Это подразумевает, что такие рыночные переменные следуют
закону масштаба времени T1/a
= T1/h = Tg = T0.618033...
То есть эти переменные подчиняются степенному закону T-к-золотому-сечению,
по контрасту с Броуновским движением, которое подчиняется степенному
закону T-к-половине.
Например, я оценивал a для дневных
изменений курса доллар/дойчмарка в течение первых шести лет
после прорыва Бреттон-Вудского Соглашения фиксированных курсов
в 1973. [1] (Период времени был с июля 1973 до июня 1979.) Величина
a была рассчитана, используя максимальные
методы вероятности [2]. Значение, которое я нашел, было
a = 1.62
с ошибкой плюс - минус .04. Вы не сможете подобраться намного
ближе этого к a = h =
1.618033…
На этом и других активах финансового рынка, похоже, масштабы
времени не согласуются с общепринятым законом квадратного -корня-T,
а следуют скорее закону Tg.
Динамическая Система Фибоначчи
Значение h = 1.618033…тесно
связано с последовательностью чисел Фибоначчи.
Последовательность чисел Фибоначчи - последовательность, в которой
каждое число является суммой двух предыдущих:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
Посмотрите, третье число последовательности - 2=1+1. Следующее
число - 3=2+1. Следующее - 5=3+2. И так далее, каждое следующее
число является суммой двух предыдущих чисел.
Эта математическая последовательность появилась в 1202 году
в книге Liber Abaci, написанной итальянским математиком
Леонардо да Пиза, более известного, как Фибоначчи (сын Боначчи).
Фибоначчи рассказал историю о кроликах. Это были математические
кролики, которые живут вечно, требуют одно поколение, чтобы
созреть, и всегда после этого имеют одно потомство в поколении.
Так, если мы начинаем с 1 кролика (первая 1 в последовательности
Фибоначчи), кролику нужно одно поколение, чтобы созреть (так
что там все еще 1 кролик в следующем поколении - вторая 1 в
последовательности), потом появляется маленький кролик в следующем
поколении (уже 2 кролика - 2 в последовательности), появляется
новое потомство в следующем поколении (дающее в целом 3 кроликов);
затем, в следующем поколении, первый маленький кролик созрел
и также имеет ребенка, так что есть два потомства (дающее 5
кроликов в последовательности), и так далее.
Теперь, последовательность Фибоначчи представляет путь динамической
системы. Мы представили динамические системы в Части
1 этой серии. (В Части 5
мы обсуждали концепцию набора Джулии, и использовали специфическую
динамическую систему - сложное логистическое уравнение - чтобы
создать компьютерное искусство в режиме реального времени, используя
Java апплет.)
Динамическая система Фибоначчи выглядит так:
F(n+2) = F(n+1) + F(n).
Число кроликов в каждом поколении (F(n+2)) равно сумме кроликов
в предыдущих двух поколениях (представлено F(n+1) и F(n)). Это
пример более общей динамической системы, которая может быть
записана как:
F(n+2) = p F(n+1) + q F(n),
где p и q - некоторые числа (параметры). Решение системы зависит
от значений p и q, также как и от стартовых величин F(0) и F(1).
Для системы Фибоначчи мы можем упростить p = q = F(0) = F(1)
= 1.
Я не буду вдаваться здесь в детали, но система Фибоначчи может
быть решена так:
F(n) = [1/50.5] { [(1+50.5)/2]n
– [(1-50.5)/2]n }, n = 1, 2, . . .
Следующая таблица дает значения F(n) для первых нескольких величин
n:
n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
F(n)
|
1
|
1
|
2
|
3
|
5
|
И так далее для остальной части чисел последовательности
Фибоначчи. Заметьте, что общее решение привлекает две величины,
которые мы предварительно рассчитали для h. Чтобы
упростить, однако, мы сведем все к первому из этих значений
(а именно, h = 1.618033 …). Таким образом, мы
имеем
h = [ 1 + 50.5] / 2 = 1.618033…, и
- 1/ h = [ 1 - 50.5]
/ 2 = -0.618033…
Вставив это в решение системы Фибоначчи F(n), мы получаем
F(n) = [1/50.5] { [h]n –
[-1/ h ]n }, n = 1, 2, . . .
С другой стороны, записав решение с использованием золотого
сечения g, мы имеем
F(n) = [1/50.5] { [g]-n
– [-g]n }, n = 1, 2, . . .
Использование отношений Фибоначчи на финансовых рынках популяризировал
Роберт Прехтер [3] и его коллеги, опираясь на работы Р. Н. Эллиотта
[4]. Эмпирическая очевидность того, что Гаусдорфова размерность
некоторых симметричных устойчивых распределений, с которыми
сталкиваются на финансовых рынках, равна приблизительно a
= h = 1.618033…, указывает на то, что этот подход
основан на твердом эмпирическом основании.
Примечания
[1] См. "Research Strategy in Empirical Work with Exchange
Rate Distributions," in J. Orlin Grabbe, Three Essays
in International Finance, Ph.D. Thesis, Department of Economics,
Harvard University, 1981.
[2] Есть две ключевые статьи DuMouchel, где дается обоснование,
необходимый для выполнения максимальных оценок вероятности a
, где a < 2:
DuMouchel, William H. (1973), "On the Asymptotic Normality
of the Maximum Likelihood Estimate when Sampling from a Stable
Distribution," Annals of Statistics, 1, 948-57.
DuMouchel, William H. (1975), "Stable
Distributions in Statistical Inference: 2. Information from
Stably Distributed Samples," Journal of the American
Statistical Association, 70, 386-393.
[3] См., например:
Robert R. Prechter, Jr., At
the Crest of the Tidal Wave, John Wiley & Sons,
New York, 1995
Robert R. Prechter, Jr., The
Wave Principle of Human Social Behavior and the New Science
of Socionomics, New Classics Library, Gainesville, Georgia,
1999.
[4] See R.N.
Elliott’s Masterworks—The Definitive Collection, edited
by Robert R. Prechter, Jr., Gainesville, Georgia, 1994.
J. Orlin Grabbe - автор книги "Международные
Финансовые Рынки", и всемирно признанный эксперт по деривативам.
Недавно он занялся криптологией, банковской безопасностью, и
электронными деньгами. Его домашняя страница расположена по
адресу
http://www.aci.net/kalliste/homepage.html.
from The
Laissez Faire City Times,
Vol 3, No 22, May 31, 1999
Дата публикации: 24.11.2006
Прочитано: 2656 раз
Дополнительно на данную тему
|
Регистрация или вход
