| Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 7 J. Orlin Grabbe Рост Мозга
Многие динамические системы создают пути
решения, или траектории, которые выглядят странными и сложными.
Такие схемы решений называются "странными аттракторами".
Некоторые странные аттракторы имеют фрактальную
структуру. Например, мы видели в Части
3, что было легко создать фрактал, называемый Ковром
Серпинского, используя стохастическую динамическую
систему (ту, где результат каждого шага частично определен
случайным компонентом, который или выбирается среди уравнений,
или формируется частю по крайней мере одного или обоих уравнений).
Вот динамическая система, на которую я наткнулся
при выполнении компьютерного искусства. Я обозначил ее "Рост
Мозга" из-за ее структуры. Чтобы уидеть Рост Мозга в
действии, убедитесь, что ваш браузер поддерживает Java и щелкните
здесь. (Истинный параноик может, конечно, собрать
свой собственный апплет, так как я, как обычно, даю исходные
коды.)
Траектория Роста Мозга удивительно сложна.
Но действительно ли это фрактал? То есть, повторятся ли подобные
структуры в большем или меньшем масштабе? В отличие от Ковра
Серпинского, для Роста Мозга ответ на этот вопрос не очевиден.
Некоторые динамические системы создают фрактальные
структуры во времени (как Брокновское движение в
Части 2 или Фибоначчи-подобные системы из Части
6), в то время как другие создают фрактальные структуры
места (как вышеупомянутый ковер Серпинского).
Харст, Гидрология, и Ежегодные Разливы
Нила
В течение столетий, а может и тысячелетий,
ежегодные разливы Нила были основой сельского хозяйства, поддерживавшего
многие известные цивилизации. Ежегодное переполнение реки
принесло на берега плодородную почву эфиопского нагорья. Вода
и ил были распределены с помощью ирригации, что дало возможность
выращивать основные культуры пшеницы, ячменя и льна. Зерно
собиралось и запасалось в бункерах и зернохранилищах, где
было защищено от грызунов кошками, поклонение которым египтяне
возвели в культ (богини Баст) из-за их важности для сохранности
зерна, а следовательно и для выживания людей.
Сила разлива Нила была критической. Хорошее
орошение означало хороший урожай, в то время как малая вода
приводила к недороду и возможной нехватке продовольствия.
Разливы зависели (и зависят до сих пор) от тропических дождей
в бассейне Верхнего Нила в Эфиопии (Голубой Нил) и на восточноафриканском
плато (Белый Нил). Наполнение реки начинается в Судане в апреле,
и достигает Асуана в Египте к июлю. (Это происходило ко времени
восхода звезды Сириус или Сотис, около 19 июля по Юлианскому
календарю.) Вода продолжала повышаться, достигая пика к середине
сентября в Асуане. Ниже по реке, в Каире, пик наступает в
октябре. Затем вода быстро спадает в ноябре и декабре, и продолжает
убывать, достигая нижней точки в марте. В Древнем Египте было
три времени года, полностью подчиненные реке: Прехтakhet,
"паводок"; Прехтperet, сезон, когда из-под
воды проглядывала земля; и Прехтshomu, время низкой
воды.
Британский правительственный чиновник по
имени Харст (Hurst) изучил хроники разливов Нила и заметил
кое-что интересное. Гарольд Эдвин Харст была бедным лейчестерским
мальчиком, ккоторый хорошо учился, поступил в Оксфорд, а позже
стал Британским "государственным служащим" в Каире
в 1906. Он заинтересовался Нилом. Просмотрев записи за 800
лет, он заметил, что существовала тенденция, когда за годом
хорошего наводнения следовал еще один хороший год, а за годом
малой воды следовал еще один плохой год.
То есть, казалось, появление хороших или
плохих лет было неслучайным. Позже ПрехтMandelbrot и ПрехтWallis
[1] использовали термин эффект Иосифа в отношении любого
постоянного явления подобного этому (по аналогии с семи годами
Египетского изобилия, перемежающегося семи годами голода в
библейской истории Иосифа).
Конечно, даже если ежегодные разливы были
независимы, все же появлялись полосы хороших или плохих лет.
Для подтверждеиия этого, Харст вычислило переменную, которая
теперь называется экспонентой Харста H. Ожидалось,
что H = ½, если ежегодные уровни разлива были
независимы от друг друга.
Вычисление экспоненты Харста
Позвольте мне привести специфический пример
вычисления экспоненты Харста, иллюстрирующий общее правило.
Предположим, что есть 99 ежегодных наблюдений высоты h
уровня воды Нила в середине сентября в Асуане: h(1),
h(2)..., h(99).
Вычислите местоположение m и масштаб
c для h. Если мы в целом предполагаем, что h
имеет конечное расхождение, то m - просто выборочное
среднее этих 99 наблюдений, тогда как c - стандартное
отклонение.
Первое - удалить любой тренд, любую тенденцию
за столетие для h, которое могло расти или падать на
длительном периоде. Так что мы вычитаем m из каждого
наблюдения h, получая новый ряд x, который имеет
средний ноль:
x(1) = h(1) - m,
x(2) = h(2) - m,
…
x(99) = h(99) - m .
Набор Прехтx-ов - набор переменных
со средним нолем. Положительные Прехт x-ы представляют
те годы, когда уровень реки - выше среднего, в то время как
отрицательные Прехтx-ы - те годы, когда уровень реки
- ниже среднего.
Затем мы формируем частичные суммы этих случайных
переменных, каждая частичная сумма Y(n) является суммой
всех лет до года n:
Y(1) = x(1),
Y(2) = x(1) + x(2),
.. . .
Y(n) = x(1) + x(2) + . . . + x(n),
.. . .
Y(99) = x(1) + x(2) + x(3) + . . . + x(99).
Так как Y-ки - сумма
средненулевых случайных переменных x, они будут положительны,
если они имеют перевес положительных Прехтx-ов и отрицательны,
если в них преобладают отрицательные Прехтx-ы. Вообще,
набор Y-ов
{Y(1), Y(2), …. , Y(99)}
будет иметь максимум и минимум: max Y
и min Y, соответственно. Различие между этими двумя
показателями называется диапазоном R:
R = max Y - min Y
Если мы отрегулируем R параметром
масштаба c, мы получим перемасштабированный диапазон:
перемасштабированный диапазон = R/c
.
Далее, теоретик вероятности Уильям Феллер
(William Feller) [2] доказал что, если ряд случайных переменных,
подобных Прехтx-ам 1) имеет конечнное расхождение,
и 2) независим, то перемасштабированный диапазон, сформированный
по n наблюдениям будет равен:
R/c = k n 1/2
где k - константа (в частности k = (p
/2)1/2). То есть перемасштабированный диапазон
увеличился бы так же, как и частичные суммы независимых переменных
(с конечным расхождением), как мы видели в Части
5, а именно, частичные суммы
увеличатся фактором n1/2
В частности для n = 99 в наших гипотетических
данных, результат будет:
R/c = k 991/2 .
Теперь, последнее уравнение подразумевает
log(R/c) = log k + ½ log 99. Так, если Вы применили
регрессию log(R/c) против log(n) [для множества перемасштабированных
диапазонов (ПрехтR/c) и числа их лет n], чтобы оценить пересечение
a и наклон b,
log(R/c) = a + b log(n),
вы найдете, что b статистически неотличимо
от ½.
Но Харст нашел не это. Он нашел, что в целом
перемасштабированный диапазон определяется по степенному закону
R/c = k nH
где экспонента Харста H была больше
½ (Харст нашел H @ .7)
Подразумевалось, что Прехтx-ы не были
независимы друг от друга: x(t) имеет некоторое постоянное
влияние на x(t+1). Это было то, что Харст наблюдал
в данных, и его вычисление показало, что H выше ½ [3].
Истинность этого вообще для H > ½,
конечно, должна быть доказана.
H = ½: отклонения уровня разлива от
среднего независимы, случайны; Прехтx-ы независимы
и соответствуют случайному блужданию
½ < H <=1: отклонения уровня
разлива - постоянны, уровни высокой воды имеют тенденцию
следовать друг за другом, а уровни низкой воды следуют за
низкими уровнями; x(t+1) стремится так же отклоняться от среднего,
как и x(t); вероятность того, что x(t+1) отклоняется от среднего
в том же самом направлении как и x(t) растет по мере приближения
H к 1;
0<=H< 1/2: отклонения уровня наводнения
- антипостоянны, Прехтx-ы средневозвратны;
уровни высокой воды имеют тенденцию следовать за уровнями
низкой воды и наоборот; вероятность, что x(t+1) отклонится
от среднего в противоположном направлении от x(t) увеличивается
по мере того, как H приближается к 0.
Избежать Недопонимания
Вспомните, как Башелье отметил, что диапазон
вероятности логарифма цены акции увеличивается с квадратным
корнем времени T. Диапазон вероятности, начинающийся логарифмом
S, увеличивался бы вместе с T, согласно:
(log S – k T1/2 , log S + k T1/2),
где k - масштаб (в его случае, стандартное
отклонение) c, k = c. Но, более общо,
симметричные устойчивые распределения из Части
5, растут с T обратно степени Гаусдорфовой размерности:
a (a
<=2)
(log S – k T1/a
, log S + k T1/a ).
Подобно этому, Харст сказал, что перемасштабированный
диапазон уровня разлива отличается согласно (n = T):
R/c = k TH .
Так что возникает соблазн приравнять экспоненту
Харста H обратной Гаусдорфовой размерности D, приравнять H
к 1/D = 1/a. Но мы должны быть
осторожны.
Вспомните, что симметричные устойчивые распределения,
с a < 2, имеют бесконечное расхождение
(для них, расхождение - мера капли, ничего не значащая). Однако,
здесь в обсуждении экспоненты Харста мы предполагаем, что
расхождение и стандартное отклонение (масштаб c), являются
конечными величинами и следовательно, a
=2. Роль экспоненты Харста - сообщить нам, являются ли ежегодные
отклонения разливов независимыми или постоянными.
H не связана с потребностью в иной мере масштаба. Расхождение
и стандартное отклонение хорошо определяются для этих процессов.
Однако, формальное уравнение H = 1/D или
D = 1/H дает правильную экспоненту для T в случае ½<=
H <=1. Даже при том, что a =2,
вычисление Гаусдорфовой размерности дает D < 2, если приращения
- не независимы. Следовательно, D может принимать минимальное
значение 1, D = 1/H = 1/1 = 1, когда H=1, так, чтобы процесс
накопил изменения (перемасштабированный диапазон) подобно
последовательности Коши (TH = T); или максимум
2, D = 1/H = 1/½ = 2, когда H=½, так, чтобы
процесс накопил изменения (перемасштабированный диапазон)
подобно Гауссовой последовательности (TH
= T1/2), или обычному Броуновскому движению. [4]
Мандельброт назвал такие виды процессов,
где a =2, но H ¹
½, фракционным Броуновским движением. (Я здесь
не буду рассматривать случай H < ½.)
Бычьи и Медвежьи Рынки
Мы, конечно, привыкли к идее повторения постоянных
явлений на рынке акций и форексе. ПрехтNASD неуклонно повышается
какое-то время. Затем также неуклонно падает. Есть бычьи
и медвежьи рынки, подразумевающие, что рост или падение цены
- постоянные явления, а не только случайное накопление
случайных переменных в одном направлении.
Доллар США неустанно растет в течение нескольких
лет, затем начинает неустанное снижение в течение следующих
нескольких лет. В случае с Нилом, модели роста и падения частично
зависят от погоды в тропических лесах Эфиопского нагорья.
В случае с долларом США, модели роста и падения частично зависят
от круговорота зелени на Вашингтонгской (округ Колумбия) низменности.
Примечания
[1] B.B. Mandelbrot & J. R. Wallis, "Noah,
Joseph, and Operational Hydrology." Water Resources
Research 4, 909-918, (1968).
[2] W. Feller, "The asymptotic distribution
of the range of sums of independent random variables."
Annals of Mathematical Statistics 22, 427 (1951).
[3] H. E. Hurst, "Long-term storage
capacity of reservoirs." Tr. of the American Society
of Civil Engineers 116, 770-808 (1951).
[4] См. также обсуждение на страницах 251-2
в Benoit B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature.
W.H. Freeman and Company, New York, 1983.
J. Orlin Grabbe - автор книги "Международные
Финансовые Рынки", и всемирно признанный эксперт по деривативам.
Недавно он занялся криптологией, банковской безопасностью, и
электронными деньгами. Его домашняя страница расположена по
адресу
http://www.aci.net/kalliste/homepage.html.
from The
Laissez Faire City Times,
Vol 3, No 22, May 31, 1999
Дата публикации: 24.11.2006
Прочитано: 2944 раз
Дополнительно на данную тему
|
Регистрация или вход
