J. Orlin Grabbe

Игроки, Нулевые Наборы, и Фрактальные Горы

Генри и Том подбрасывают монету и ставят по
1 $ на результат. Если монета упадет орлом, Генри выигрывают
доллар у Тома. Если монета упадет решкой, Том выигрывают доллар
у Генри. Значит, чистый выигрыш Генри в долларах - общее количеством
орлов минус общее количество решек.





Но мы уже видели все это в Части 3.
Если мы решим, что x(n) обозначает чистый выигрыш Генри, то
x(n) определен динамической системой:





x(n) = x(n) + 1, с вероятностью p = ½

x(n) = x(n) – 1, с вероятностью q = ½.





График 10,000 бросков монеты в части 3 просто показывает колебания
капитала Генри (начиная от 0) на протяжении 10,000 бросков монеты.





Давайте проделаем это в в режиме реального времени, хотя мы
ограничимся 3200 бросками монеты. Давайте нарисуем выигрыш Генри
в новой игре, которая длится 3200 бросков монеты. Вы можете
быстро увидеть результаты многих игр несколькими кликами вашей
мыши. Убедитесь, что ваш браузерподдерживает Java и щелкните
здесь.



Есть три вещи, на которые следует обратить внимание в этой демонстрации:

1. 
   

   Даже при равной вероятности для каждого
   броска монеты, выигрыши или потери могут время от времени
   значительно накапливаться. Даже при том, что орел или решка
   одинаково вероятны для каждого броска монеты, может случиться
   серия, которая принесет большой убыток или Генри или Тому.
   Этот факт важен в понимании проблемы "разорения игрока",
   рассматриваемой позже.
   
   



2. 
   

   Набор точек, где x(n) возвращается к x(n)
   = 0 (то есть точек, где равны победы и потери), называется
   нулевым набором системы. Используя n как нашу мера времени,
   интервалы времени между точками нулевого набора независимы,
   но формируют кластеры, сильно похожие на пыль Кантора. Чтобы
   увидеть нулевой набор для игры с монетой, убедитесь, что
   ваш браузер поддерживает Java и щелкните здесь. Нулевой
   набор представляет ситуации, в которых Генри становился
   безубыточным.
   
   



3. 
   

   Колебания выигрыша Генри формируют фигуру,
   наводящую на размышления о горах и долинах. Фактически,
   это тип "Броуновского пейзажа" которые мы все
   время видим вокруг себя. Чтобы создать различные "чужеродные"
   пейзажи, скажем, декорации для фантастического фильма, мы
   можем изменить вероятности. Трехмерные эффекты с цветными
   тенями, могут быть ошеломляющими

Так как мы будем позже обсуждать движения,
которые не являются Броуновскими, и распределения, которые не
являются нормальными (не Гауссовы), важно сначала указать аспект
всего этого, который является несколько независимым от распределения
вероятности. Это названо Проблемой Разорения Игрока. Вам не
нужны ненормальные распределения, чтобы столкнуться с разорением
игрока. Нормальные прекрасно это сделают.

Фьючерсная Торговля и Проблема Крушения Игрока

Этот раздел объясняет, как казино делают большую
часть своих денег, а также почему трейдеры в Goldman Sachs делают
больше денег на спекуляциях, чем Вы. Не обязательно потому,
что они умнее Вас. Лишь потому, что они имеют больше денег.
(Однако мы покажем, как богатый может легко потерять это преимущество.)





Многие люди считают, что цена фьючерсов на индексы акции, обязательства,
валюты, или товары, типа золота, представляет собой справедливую
ставку. То есть они предполагают, что вероятность восходящего
движения цены фьючерса равна вероятности нисходящего движения,
а следовательно, математическое ожидание прибыли или потери
- ноль. Они используют аналогию с броском монеты. Если Вы заключаете
пари на 1 $ на результат броска монеты, вероятность выиграть
доллар - половина, в то время как вероятность проиграть доллар
- также половина. Ваша ожидаемая прибыль или убыток равны нулю.
По той же самой причине, они делают вывод, фьючерсная прибыль
и фьючерсный убыток в конечном счете будут стараться погасить
друг друга





В таком рассуждении спрятана ошибка. Открытие позиции по фьючерсному
контракту не аналогично броску монеты. Скорее, верной будет
аналогия повторяющихся серий бросков монеты с точкой стохастического
завершения. Почему? Из-за ограниченного капитала). Предположим,
Вы с другом подбрасываете монету и ставите по 1 $ на результат
каждого броска. В какой-то момент или Вы, или ваш друг попадет
в серию неудач и потеряет несколько долларов подряд. Если у
одного из игроков кончились деньги, игра приходит к концу. То
же самое верно и на фьючерсном рынке. Если Вы имеете череду
потерь на фьючерсной позиции, Вас попросят дополнить маржу.
Если в какой-то момент Вы не сможете удовлетворить требуемый
запрос, Вы будете должны закрыть контракт. Вы вынуждены выйти
из игры, и, таким образом, Вы не сможете отыграть то, что потеряли.
Подобно этому в 1974 году Franklin National и Bankhaus I. D.
Herstatt получили череду потерь на своих межбанковских форексных
позициях. Они не стали безубыточным в конечном счете, потому
что не было никакого "конечного счета". Они прервались
в середине. Это явление упоминается в теории вероятности как
проблема разорения игрока [1].





Что такое "справедливая" ставка при рассмотрении единственного
броска монеты, когда при взгляде на серию бросков с точкой стохастического
окончания видно, что это совершенно другая игра, с иной вероятностью.
Вероятности игры тогда зависят от относительного количества
капитала у разных игроков.





Предположим, что мы рассматриваем процесс пари, в котором Вы
выиграете 1 $ с вероятностью p и потеряете 1 $ с вероятностью
q (где q = 1 - p). Вы начинаете с количеством
$W. Если ваши деньги падают до ноля, игра останавливается. Ваш
партнер по пари - человек по другую сторону вашей ставки, который
побеждает, когда Вы теряете и теряет, когда Вы выигрываете,
имеет количество денег $R. Какова вероятность того, что Вы в
конечном счете потеряете весь ваш капитал W, учитывая p
и R? По теории вероятности [1], ответ будет:

                        (q/p)W + R - (q/p)W

Вероятность разорения = ——————————————————,     для p ¹ q

                          (q/p)W + R - 1

Вероятность разорения = 1 - [W/(W + R)],
для p = q = .5.

Пример

У вас есть 10 $, а ваш друг имеет 100 $. Вы
подбрасываете монету. Если выпадет орел, он платит Вам 1 $.
Если выпадет решка, Вы платите ему 1 $. Игра заканчивается,
когда любой из игроков исчерпает свои деньги. Какова вероятность
того, что ваш друг выиграет все ваши деньги? Из второго уравнения
выше мы имеем p = q = .5, W = 10 $, и R = 100 $. Таким образом,
ваша вероятность все потерять:





1 - (10/(10 + 100)) =.909.





Вы потеряете все свои деньги в этой "справедливой"
игре с вероятностью 91 процент.

Теперь Вы знаете, как делают деньги казино.
Их банковский счет больше вашего. В конечном счете, Вы получите
проигрышную полосу, а затем должны будете прекратить игру (так
как казино не даст Вам взаймы бесконечный капитал).





Вероятность разорения игрока очень важна. Действительно, вероятность
складывается против игрока в любой игре казино: большая против
игрока в кено, умеренная против игрока в игральных автоматах,
незначительная против игрока в блэкджеке и крэпсе. (Правила
типа " Вы можете удваивать только на 10-ти и 11-ти"
в блэкджеке предназначены, чтобы усилить вероятность против
игрока, как и использование множества карточных столов, и т.д.)
Но главный источник выигрыша казино - в том, что люди должны
прекратить играть, как только получат достаточно большую проигрышную
полосу, которая является неизбежной. (Большое количество "бесплатных"
спиртных напитков, подаваемых игрокам, помогает в этом процессе.
С точки зрения казино, затраты на спиртные напитки блестяще
окупаются.)



Обратите внимание, что здесь "капитал" (W или
R в уравнении) определен, как число единиц ставок: 1
$, например. Чем больше единиц ставок Вы имеете в запасе, тем
меньше вероятность, что Вы столкнетесь с проблемой разорения
игрока. Так что Вы, если Вы сидите за столом блэкджека у Harrah
с минимальной ставкой $1000, Вы должны будете иметь капитал
в 100 раз больший, чем у того, кто сидит за минимальным столом
по 10 $, чтобы иметь ту же самую вероятность против дилера.





Человек, который имеет $1000 капитала и делает ставки по $10,
имеет общее количество W = 1000/10 = 100 единиц ставки. Это
довольно хорошее отношение.





В то время как человек, имеющий капитал $10,000 и ставящий по
$1000 за раз, имеет W = 10000/1000 = 10 единиц ставки. Это отвратительная
вероятность, независимо от игры. Это вероятность лузера.

Гаусс против Коши

Мы измеряем вероятность нашей фунтовой банки
джема. Мы можем распределять джем любым способом, каким пожелаем.
Если мы поместим его весь в точке x = 5, то мы скажем "x
= 5 наверняка" или " x = 5 с вероятностью 1. "





Иногда способ распределения джема определяется простой функцией.
Нормальное или Гауссово распределение размазывает
джем (вероятность) вдоль реальной линии (от минус бесконечности
до плюс бесконечности) используя функцию плотности:





f(x) = [1/(2p )^0.5] exp(-x²/2)
, - ¥ < x < ¥





Здесь f(x) создает хорошую колоколообразную кривую, которую
мы видели прежде (x находится на горизонтальной линии,
а f(x) - синяя кривая выше):

Джем (вероятность) намазан между горизонтальной
линией и кривой, так что высота кривой в каждой точке
(данной f(x)) указывает на вероятность точки относительно некоторой
другой точки. Кривая f(x) называется плотностью вероятности.





Так что мы можем вычислить плотность вероятности для каждой
величины x, используя функцию f(x). Вот некоторые значения:

При центральном значении x = 0, плотность вероятности
самая высокая, и имеет величину f(x) = .3989. По обе стороны
0 плотность вероятности распространяется симметрично в каждом
направлении.





Полную фунтовую банку джема мажут под кривой между – ¥
и + ¥. Так общая вероятность,
полная площадь под кривой, будет 1. В вычислении площадь под
кривой записана как интеграл, а так как общая вероятность -
единица, интеграл функции распространения джема от - ¥
до + ¥, f (x) будет 1.





Вероятность того, что x лежит между a и b,
a < x < b, это лишь площадь под кривой (количество джема)
измеренная от a до b, как обозначено красной
областью на графике ниже, где a =-1, а b = +1:

Я просто обозначу интеграл от a до b
от f(x), как:





I(a,b) f(x) dx.





I(a,b) f(x) dx тогда является областью под кривой f(x) от a
до b. На графике выше мы видим отображение I(-1,1). И
так как общая вероятность (полная площадь под кривой) вдоль
всех значений x (от - ¥ до +
¥) равна 1, мы имеем





I(- ¥ ,¥
) f(x) dx = 1.





Будет полезно кое-что прояснить. Нам нужен кратчайший путь выражения
вероятности того, что x < b. Но вероятность, что x < b
является той же самой, как и вероятность того, что -¥
< x < b. Так что эта величина дается областью под кривой
от -¥ до b. Мы запишем ее. как
F(b):





F(b) = I(-¥ ,b) f(x) dx =
площадь под кривой от минус бесконечности до b.





Вот чертеж F(b) когда b = 0:

Для любой величины x, F(x) - совокупная
функция вероятности. Она представляет полную вероятность до
(и включая) точки x. Она представляет вероятность всех
значений, меньших (или равных) x.





(Обратите внимание, что, так как область под кривой в отдельной
точке - ноль, включаем ли мы точку x в функцию совокупной
вероятности F(x), или включаем ли мы только все точки, меньшие
x, величина F(x) не меняется). Однако, мы понимаем, что
точка x включена в вычисление F(x).)





F(x) принимает значения между 0 и 1, в соответствии с нашей
фунтовой банкой джема. Следовательно





F(-¥ ) = 0, в то время как





F(+¥ ) = 1.





Вероятность между a и b, a может быть записана просто, как





F(b) – F(a).





Вероятность x> b может быть записана как:





1 – F(b).





Вот другая функция для вероятности распространения, называемая
плотностью Коши (Cauchy):





g(x) = 1/[p (1 + x²)],
- ¥ < x < ¥






Вот рисунок результирующей кривой Коши:

Она симметрична, подобно нормальному распределению,
но относительно сильнее сконцентрирована вокруг центра, и более
высокая на концах, чем нормальное распределение. Мы можем увидеть
это яснее, глядя на величины g(x):

Для каждого значения x плотность Коши ниже,
чем нормальная плотность, пока мы не выходим в экстремальные
концы, такие. как 2 или 3 (+ или-).





Обратите внимание, что при -3, например, плотность вероятности
распределения Коши будет g(-3) = .0318, в то время как для нормального
распределения, величина f(-3) = .0044. Эта вероятность больше
чем в 7 раз выше для этого экстремального значения при распределении
Коши, чем при нормальном распределении! (Расчет .0318/.0044
= 7.2.) По сравнению с нормальным, распределение Коши - курдючно.





Чтобы увидеть более подробный график нормальной плотности минус
плотность Коши, щелкните
здесь.





Как мы увидим позднее, существуют и другие распределения, имеющие
большее количество вероятности на концах, чем нормальное, а
также большее количество вероятности на пике (в нашем
случае около 0). Но так как общая вероятность должна составлять
в целом 1, то, естественно, в промежуточных диапазонах находится
меньшее количество вероятности. Такие распределения называются
островершинными (leptokurtic). Островершинные распределения
имеют большее количество вероятности и на концах, и в центре,
чем нормальное распределение, и может быть найдено на всех рынках
активов - на форексе, акциях, процентных ставках и товарах.
(Люди, воображающие, что эмпирические распределения изменений
логарифмов цен на этих рынках скорее нормальны, чем
островершинны, печально обманываются.)

Расположение и Масштаб

До сих пор рассматривая нормальную и Коши плотности,
мы видели, что они сосредоточены около ноля. Однако, так как
плотность определяется для всех значений x, - ¥
< x < ¥, центр может располагаться
и в другом месте. Чтобы переместить центр от ноля до места m,
мы запишем нормальную плотность вероятности, как:





f(x) = [1/(2p )^0.5] exp(-(x-m)²/2)
, - ¥ < x < ¥
.





Вот рисунок нормального распределения после того, как расположение
было смещено от m = 0 (синяя кривая) до m = 2
(красная кривая):

Для плотности Коши соответствующее изменение,
включая параметр местоположения m будет





g(x) = 1/[p (1 + (x-m)²)],
- ¥ < x < ¥





В каждом случае распределение теперь сосредоточено в m вместо
0. Обратите внимание, что я говорю "параметр местоположения
m" , а не "среднее m".
Причина проста. Для распределения Коши среднего не существует.
Но параметр местоположения, который показывает, где сосредоточено
распределение вероятности, есть.





Для нормального распределения параметр местоположения m
- тот же самый как и средняя распределения. Таким образом, многие
люди, знакомые лишь с нормальным распределением, путают их.
Это не одно и то же.





Точно так же, для распределения Коши стандартное отклонение
(или, как вариант, квадрат стандартного отклонения) не существует.
Но есть параметр масштаба c, который показывает, как
далеко Вы должны отойти в каждом направлении от параметра местоположения
m, чтобы область под кривой соответствовала данной вероятности.
Для нормального распределения параметр масштаба c соответствует
стандартному отклонению. Но параметр масштаба c определяется
и для Коши, а также для другого, островершинного распределения,
для которых стандартное отклонение не существует ("является
бесконечным").





Вот нормальная плотность, записанная с добавлением параметра
масштаба c:





f(x) = [1/(c (2p )^0.5)]
exp(-((x-m)/c)²/2) , - ¥
< x < ¥ .





Мы делим (x-m) на c, а также умножаем всю функцию
плотности на обратную c.





Вот картина нормального распределения для различных величин
c:

Синяя кривая представляет c = 1, в то
время как более высокая красная кривая имеет c < 1,
а сглаженная красная кривая имеет c > 1.



Для плотности Коши добавление параметра масштаба дает нам:



g(x) = 1/[cp (1 + ((x-m)/c)²)],
- ¥ < x < ¥





Также, как мы делали с нормальным распределением, мы делим (x-m)
на c, а также умножаем всю плотность на обратное c.





Действия с местоположением и масштабом четко определены,
независимо от того, существует ли среднее отклонение.





Большинство распределений вероятности, которые интересуют нас
в финансах, лежат где-нибудь между нормальным и Коши. Эти два
распределения формируют "границы", если можно так
выразиться, нашей главной области интересов. Также, как ковер
Серпинского имеет Гаусдорфову размерность, которое является
дробью, большей чем ее топологическое измерение 1, но меньшей,
чем ее Эвклидово измерение 2, так же и распределения вероятности,
которыми мы в основном заинтересованы, имеют измерение, которое
является большим чем измерение Коши 1, но меньшим, чем нормальное
измерение 2. (Что понимается здесь под "измерением Коши
1" и "нормальным измерением 2" будет в свое время
разъяснено.)

Примечания

[1] См. Главу 14 в William Feller, An Introduction
to Probability Theory and Its Applications, Vol. I, 3rd
ed., John Wiley & Sons, New York, 1968.

J. Orlin Grabbe - автор книги "Международные
Финансовые Рынки", и всемирно признанный эксперт по деривативам.
Недавно он занялся криптологией, банковской безопасностью, и
электронными деньгами. Его домашняя страница расположена по
адресу

http://www.aci.net/kalliste/homepage.html.

from The
Laissez Faire City Times,
Vol 3, No 22, May 31, 1999

Дата публикации: 24.11.2006
Прочитано: 2269 раз

---

Дополнительно на данную тему

---

Эффект Бабочки

«Выход Люстры» и Вход на Основе Волотильности.

Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 1

Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 2

Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 3

Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 5

Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 6

Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках Часть 7

Извлечение Выгоды из Сезона Ирнингов с Помощью Опционов.

Bondors